連分數近似演算法

(2023年2月19日註：這篇文章原先發在自己github那邊的部落格，時間是2023年2月5日)

這道題源自數學實驗上面的一組實驗，當時困擾了我特別久，題目的內容是用matlab求出π的連分數展開及每層迭代的值。

因為matlab的數值精度的問題，當你執行3+16450/16421時，就算你設定了format rat，也沒有辦法顯示準確的有理分數的值。原書是用mathmatica做的，直接一句命令就出來了。

其實matlab裡面也是有相應的連分數展開的命令的，詳細可以檢視以下：

continued fraction expansion

>> rat(pi,1e-31)

ans =
3 + 1/(7 + 1/(16 + 1/(-294 + 1/(3 + 1/(-4 + 1/(5 + 1/(-15)))))))
>> rat(pi,1e-18)
ans =
3 + 1/(7 + 1/(16 + 1/(-294 + 1/(3 + 1/(-4 + 1/(5 + 1/(-15)))))))

其實後來我測試自己的演算法也是有問題的，但是至少比之前迭代不到10次就直接誤差為0了要好得多，究其原因還是因為前面運算的時候用的是double型數，這裡我嘗試過，如果在一開始就使用符號運算的話，不僅運算時間無法忍受，而且很容易迭代到20次以後就直接程式堆疊溢位或者nan或者是inf了。

好了，說了這麼多，該介紹下連分數是什麼了，其實也不難，據說拉馬努金對這個非常的了解。$$s_ = \frac+\frac+\frac+…}}}$$

為了演算法的簡便，我們設定的是這組數列全部都是正整數。對於有理數，我們知道，這組數列一定是有限數列，對於無理數，這組數列大部分情況下是無限數列。我們可以從某乙個數開始，設定它為0，按照這樣子的順序，加出來乙個有理分數，這個有理分數就是我們需要的值，舉個例子。$$\pi = \frac}}$$

演算法的大致步驟如下：

(1) 根據輸入的number值，取不足近似整數(matlab裡面就是fix函式)，比如π就是取3，同時將3存入陣列p的第乙個值$p[1]=fix(number)$(matlab的陣列從1開始的)

(2) 做運算$π-3$，作為陣列a的第乙個值$a[1]$

(3) $p[2]=\frac$

(4) $a[2]=fix(p[2])$

下乙個p和a重複上述過程

function result=test(number,n)

%number=(sqrt(5)-1)/2; %測試用
%n=100; %測試用
result=0;
p=zeros(1,n);a=zeros(1,n);
p(1)=fix(number);
a(1)=number-fix(number);
for i=2:n-1
p(i)=1/a(i-1);
a(i)=p(i)-fix(p(i));
endp=sym(fix(p)); %轉成符號計算
for j=n-1:-1:2
result=1/(p(j)+result);
endresult=result+p(1);

測試以後發現，這組演算法還是有問題的，前面也說過，最大問題就是陣列a是乙個double型的陣列，把精度截斷了。我嘗試過用sym型來寫，但是會在某個數值的時候因為大數相乘(分子分母比較大的時候，通分造成的原因)直接超過1e308變成inf，然後就nan了。綜合上面，只能放棄掉一些精度。經過測試，直接sym型的時候連分數能寫到20層，如果將a進行double化，目前沒發現層數的問題，但是有效的層數，100層的話大約在70層左右，vpa以後精度在1e-15左右，還是可以的。計算處理速度上基本沒有大的問題，100層的時間大約是2秒鐘左右，300層的時間大約是3秒鐘左右。

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