樹鏈剖分求LCA

這裡先推薦兩道練習的裸題

首先是求點

【codevs4605】 lca

就是求兩個點的公共祖先，每次詢問xor上上乙個詢問的答案。

先是兩遍dfs：

dfs1：把dep、siz、son求出來

dfs2：求出top和w

siz[v]表示以v為根的子樹的節點數

dep[v]表示v的深度(根深度為1)

top[v]表示v所在的鏈的頂端節點

fa[v]表示v的父親

son[v]表示與v在同一重鏈上的v的兒子節點

w[v]結點編號

1
int lca(int x,inty)2
11return dep[x]x : y;
12 }

下面來分析這個演算法。

1:如果top[a]==top[b]，說明a和b在同一條重鏈上，顯然它們中深度較小的點即為它們的最近公共祖先。

2：如果top[a]!=top[b],（說明a,b在不同的重鏈上）且a的深度較大，則此時a，b的lca不可能在a所在的重鏈上。

因為如果a，b的lca在a所在重鏈上，那麼top[a]顯然也為a，b的公共祖先，則若dep[up[a]]]>dep[b],則顯然不可能，若dep[up[a]]]<=dep[b]，則設dep[up[a]]]為d，因為d>=dep[b],所以我沿著b向上搜尋，在深度d處也可以找到乙個點c為b的祖先，又因為a，b不在同一條重鏈上，所以top[a]!=c,這就意味著在同一深度，b有兩個不同的祖先，這是不可能的（因為是一棵樹），所以，lca不可能在a所在的重鏈上。所以我們可以將a上公升到up[a]的父節點，這時a,b的lca沒有變化。

3：若果top[a]!=top[b],且b的深度較大，同理我們可將b上公升到up[b]的父節點。

4: a，b不停地上公升，所以一定可以找到a,b的lca。

因為我們知道，在樹中任意一點到根的路徑上，重鏈數不會超過(logn),所以我們可以在o(logn)的時間複雜度內，將a，b的lca求出來。

(證明來自:

1 #include2 #include3 #include4 #include5 #include6 #include7
using
namespace
std;89
#define n 100010
1011
struct
edge
12e[n<<1
];15
int head[n<<1
];16
intcnt;
1718
intfa[n],dep[n],son[n],top[n],siz[n],pos[n];
1920
intn,m;
2122
intx,y;
23int
ans;
2425
introot;
2627
void link(int x,int
y)28
;30 head[y]=cnt;31}
3233
void dfs(int x,int
d)3444}
4546
void dfs2(int x,int
d)47
5657
int lca(int x,int
y)58
67return dep[x]x : y;68}
6970
intmain()
7181
link(i,fa[i]);82}
83 dfs(root,1
);84 cnt=0
;85 top[root]=root;
86dfs2(root,root);
87 scanf("
%d",&m);
88while (m--)
8996
return0;
97 }

codevs4605

然後是求值

【codevs2370】小機房的樹

大意：求樹上兩點距離

我寫了樹鏈剖分

1 #include2 #include3 #include4 #include5 #include6 #include7
using
namespace
std;89
#define n 100010
1011
struct
edge
12e[n<<1
];15
int head[n<<1
];16
intcnt;
1718
intfa[n],dep[n],son[n],top[n],siz[n],pos[n];
1920
intn,m;
2122
intx,y;
23int
ans;
2425
introot;
2627
void link(int x,int
y)28
;30 　　head[y]=cnt;31}
3233
void dfs(int x,int
d)3444}
4546
void dfs2(int x,int
d)47
5657
int lca(int x,int
y)58
67return dep[x]x : y;68}
6970
intmain()
7181
link(i,fa[i]);82}
83 　　dfs(root,1
);84 　　cnt=0
;85 　　top[root]=root;
86dfs2(root,root);
87 　　scanf("
%d",&m);
88while (m--)
8996
return0;
97 }

codevs2370

複雜度o(qlogn)，還是比較快的。

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