演算法 Miller Robbin素數判定

目錄

三、小結

我們以前都是怎麼判斷素數的呢：

試除法：若乙個正整數n為合數，則存在乙個能整除n的數k，其中\(2\leqslant k \leqslant \sqrt n\)。

具體實施如下：

inline int is_prime(int n)

return 1;
}

現在，我們希望更快地判斷乙個數是否為素數。

我們可以借助費馬小定理來判斷：

如果p是乙個質數，而整數a不是p的倍數，則有

\[a^\equiv 1\pmod p

\]miller-robbin素數判定就是基於上述定理實現的，如果我們隨機列舉乙個\(a\)，且\(a\)滿足費馬小定理，那麼\(p\)就是素數。所以miller-robbin素數判定是一種隨機性演算法。

需要注意的是，我們這樣判斷素數的方法實際上利用的是費馬小定理的逆定理。不幸的是，費馬小定理的逆定理並不是乙個真命題。

這意味著一次判斷不足以保證我們的程式正確。當然，解決這個問題也十分簡單。

我們只需要重複操作大約30次，便能將正確率提公升到我們期待的水平。

另外，我們使用快速冪來計算\(a^\)。總複雜度為\(o(logn)\)。

下面給出miller-robbin素數判定的模板：

int qpow(int a,int b,int mod)

return res;
}bool query_prime(int x)
return true;
}

判斷乙個正整數是否為素數

#include#define int long long

using namespace std;
inline int qpow(int a,int b,int mod)
return res;
}inline int miller_robbin(int num)
return 1;
}signed main()
miller_robbin(num)?printf("yes\n"):printf("no\n"); 
return 0;
}

at1476 素數判定

#include#define ll long long

using namespace std;
ll qpow(ll a,ll b,ll mod)
return res;
}bool query_prime(ll x)
return true;
}int main()

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