平衡樹一 Splay樹

totfa[i]

chival[i]

cnt[i]

size[i]

根節點編號

節點個數

父親左右兒子編號

節點權值

權值出現次數

子樹大小

maintain(x):在改變節點位置後，將節點x的size更新;

get(x):判斷節點x是父親節點的左孩子還是右孩子;

clear(x):銷毀節點x;

void maintain(int x)   
bool get(int x) 
void clear(int x)

為了使得splay保持平衡而進行旋轉操作，旋轉的本質就是將某個節點上移乙個位置。

旋轉需要保證:

1.整顆樹splay中序遍歷不變(不破壞二叉查詢樹的性質);

2.受影響節點維護資訊依然正確有效;

3.root必須指向旋轉後的根節點;

splay中分兩種旋**左旋和右旋

1 2 / \ / \ 2 3 --->右旋 4 1 / \ <---左旋 / \

4 5 5 3

具體分析旋轉步驟:

假設需要旋轉的節點為x，其父親為y，以右旋為例;

1.將y的左孩子指向x的右孩子，且x的右孩子的父親指向y;

ch[y][0] = ch[x][1];

fa[ch[x][1]] = y;

2.將x的右孩子指向y，且y的父親指向x;

ch[x][chk^1] = y;
fa[y] = x;

3.如果原來y還有父親z，那麼把z的某個兒子(原來y所在的位置)指向x，且x的父親指向z;

fa[x] = z;
if (z)

void rotate(int x)

splay規定：每訪問乙個節點後都要強制將其旋轉到根節點，此時旋轉操作具體分6種情況討論(其中x為需要旋轉到根的節點)。

y /

x

y \

x

z / y /

x

z \ y \

x

z \ y /

x

z / y \

x

1.如果x的父親是根節點，直接旋轉x左旋或右旋;(1/2)

2.如果x的父親不是根節點，且x和父親的兒子型別相同，首先將其父親左旋或右旋，然後再將x旋轉;(3/4)

3.如果x的父親不是根節點，且x和父親的兒子型別不相同，將x左旋在右旋，或者右旋在左旋;(5/6)

void splay(int x)
rt = x;
}

插入操作是乙個比較複雜的過程，具體步驟如下(插入值為k):

1.如果樹空，直接插入退出;

2.如果當前節點權值等於k則增加當前節點的大小並更新節點和父親的資訊，將當前節點進行splay操作;

3.否則按照二叉樹性質往下找，找到空節點插入即可，最後splay一下;

void insert(int k)
int cnr = rt, f = 0;
while (1) 
f = cnr;
cnr = ch[cnr][val[cnr] < k];
if (!cnr) 
}}

根據二叉樹的定義和性質，顯然可以按照以下步驟查詢x的排名:

1.如果x比當前節點的權值小，向其左子樹查詢;

2.如果x比當前節點的權值大，將其加上左子樹和當前節點cnt大小，向右子樹查詢;

3.如果x與當前節點的權值相同，將答案加1並返回;

int rank(int k)
else 
res += cnt[cnr];
cnr = ch[cnr][1];}}
}

設k為剩餘排名，步驟如下:

1.如果左子樹非空且剩餘排名k不大於左子樹的size，那麼向左子樹查詢;

2.否則將k減去左子樹和根的大小，如果此時k的值小於等於0，則返回根節點的權值，否則繼續向右子樹查詢;

inr kth(int k)
else 
cnr = ch[cnr][1];}}
}

前驅定義為小於x的最大數，那麼查詢前驅就可以變為:將x插入(此時x已經在根節點上)，前驅即為x的左子樹中最右邊的節點，最後將x刪除即可;

int pre(int x)

後繼定義為大於x的最小的數，查詢和前驅類似:x的右子樹中的最左邊節點;

int next()

合併兩顆splay樹，設兩顆樹的根節點分別為x和y,先做著假定，要求x樹種最大值不大於y中的最小值。合併操作如下:

1.如果x和y其中之一或兩者都為空樹，直接返回不為空的那一顆樹的根節點或空樹;

2.否則將x樹中的最大值splay到根節點，然後將他的右子樹設定為y並更新節點資訊，然後返回這個節點;

int merge(int x, int y)
if (!y) 
//找到x樹種最大值;
int cnr = ch[x][1];
while (ch[cnr][1]) cnr = ch[cnr][1];
splay(cnr);
fa[y] = cnr;
ch[cnr][1] = y;
return cnr;
}

刪除操作具體如下:

1.首先將x旋轉到根節點;

2.如果cnt[x] > 1,將cnt[x]--後退出;

3.否則，合併它的左右兩顆子樹即可;

void del(int k)
//cnt[k]==1;
if (!ch[rt][0] && !ch[rt][1]) 
if (!ch[rt][0]) 
if (!ch[rt][1]) 
int cnr = rt, x = pre();
splay(x);
fa[ch[cnr][1]] = x;
ch[x][1] = ch[cnr][1];
clear(cnr);
maintain(cnr);
return;
}

#include const int n = 100005;
int rt, tot, fa[n], ch[n][2], val[n], cnt[n], sz[n];
struct splay 
bool get(int x) 
void clear(int x) 
void rotate(int x) 
void splay(int x) 
void ins(int k) 
int cnr = rt, f = 0;
while (1) 
f = cnr;
cnr = ch[cnr][val[cnr] < k];
if (!cnr) 
}} int rk(int k) else 
res += cnt[cnr];
cnr = ch[cnr][1];}}
} int kth(int k) else 
cnr = ch[cnr][1];}}
} int pre() 
int nxt() 
void del(int k) 
if (!ch[rt][0] && !ch[rt][1]) 
if (!ch[rt][0]) 
if (!ch[rt][1]) 
int cnr = rt;
int x = pre();
splay(x);
fa[ch[cnr][1]] = x;
ch[x][1] = ch[cnr][1];
clear(cnr);
maintain(rt);
}} tree;
int main() 
return 0;
}

//參考**:

為了加深理解，手抄一遍;

平衡樹之splay

在每次查詢之後對樹進行重構把被查詢的條目搬移到離樹根近一些的地方。伸展樹應運而生。伸展樹是一種自調整形式的二叉查詢樹,它會沿著從某個節點到樹根之間的路徑通過一系列的旋轉把這個節點搬移到樹根去。大家只需要記住，每次進行插入查詢的時候，都要把插入查詢的元素通過旋轉變到根的位置，splay 的...

（模板）Splay 平衡樹

不會講解，直接上板子，按照洛谷p3369的要求 include include include using namespace std const int maxn 1000000 int ch maxn 2 f maxn size maxn cnt maxn key maxn int nodecn...

平衡樹 Splay 模板

又是機房最後乙個學spl ay splay splay的人參考d al ao dalao dalao部落格寫的非常好！最後放上我的有個地方應該寫ch root 0 ch root 0 ch roo t 0 手殘寫成ch root 1 ch root 1 ch roo t 1 還查不出來t t...

平衡樹一 Splay樹

平衡樹之splay

（模板）Splay 平衡樹

平衡樹 Splay 模板

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