2023年哈薩克國際數學奧林匹克第一天第一題

已知n是正整數，把n*n的正方形分成n方個單位正方形，將111枚硬幣放入這些單位正方形中使得任意兩個相鄰（有一條公共邊）的單位正方形中數量之差的絕對值恰好為1 ( 單位正方形內可以沒硬幣) ，求n的最大值。

考慮乙個2*2的正方形，因為2 3都與1相差1或-1，所以2 3硬幣之和為偶數，同理1 4硬幣之和為偶數，所以乙個2*2的硬幣數為偶數。而因為任意n*n（n為偶數）的正方形都可以分割為若干個2*2的正方形，所以n*n（n為偶數）的正方形的硬幣數為偶數。所以對於本題，n必為奇數，所以只考慮奇數即可。

對於乙個2*2的小正方形來說，其硬幣數最少為2。因為1 2 3 4裡至多有兩個為0。所以乙個以n*n（n為偶數）的正方形內的硬幣數至少為n*n/2。而16*16/2=128>111，所以n<17。

考慮一下15*15.

把其劃分為兩部分，一部分為14 14的，另一部分為剩下的。對於14 14這部分，這部分的硬幣數最少為98個。對於剩下的部分，因為相鄰兩個的硬幣數不能相同，所以這部分的硬幣數最少14個（0 1相隔放置，角落放0個），所以15*15的硬幣數最少為112個。所以n<=13。

對於13*13的來說

，先用這種方式放硬幣，可知一共在85個單位正方形放了85個硬幣，每個正方形內放乙個，還剩下84個空的正方形，此時再把26個硬幣分成13份，每份兩個，隨便找13個0放進去。由於0+2=2 2-1=1，85+26=111，且所有的0的都被1包圍。所以滿足題意。

綜上，n最大為13。