bitset 優化 01 矩乘

這裡的矩乘並不狹隘地專指一般矩陣乘法，而可以指所有與一般矩乘一樣具有結合律的二元矩陣運算。

例：定義一種 01 矩陣乘法 \(a\cdot b=c\) 為下面的 c++ **

for (int i = 1; i <= n; ++i)

for (int j = 1; j <= n; ++j)
for (int k = 1; k <= n; ++k)
c[i][j] |= a[i][k] & b[k][j];

顯然這種矩乘是具有結合律的，即符合 \((a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)

因為是 01 矩陣，可以用 bitset 優化

於是上面的**顯然與下面這份等價

std::bitseta[n], b[n], c[n];

for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int k = 1; k <= n; ++k)
for (int j = 1; j <= n; ++j)
if (a[i][k])
c[i][j] |= b[k][j];

仔細一看，發現最後一維列舉 j 時，a[i][k]不受其影響，同時c[i]與b[k]對齊了

於是利用 bitset 自帶的運算我們可以寫成

std::bitseta[n], b[n], c[n];

for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int k = 1; k <= n; ++k)
if (a[i][k])
c[i] |= b[k];

或者更準確地說

時間複雜度從 \(o(n^3)\) 降為了 \(o(n^3/\omega)\) ，其中一般 \(\omega\) 為 32 或 64 ，與計算機位數有關。

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