求 \(\sum\limits_^n\sum\limits_^m\frac\) 在 \(k\) 進製下能表示成迴圈節從第一位小數開始的無限迴圈小數或整數的最簡分數個數。
先思考怎麼轉換。
首先肯定滿足 \(\gcd(x,y)=1\)。
假設 \(\frac\) 的迴圈節長度為 \(l\)，根據在 \(k\) 進製下的數乘以 \(k^p\) 相當於將小數點往後挪 \(p\) 位，那麼有：
\[\\}=\\}
\]轉換一下上面那個式子，有：
\[\begin
\frac-\lfloor\frac\rfloor&=\frac-\lfloor\frac\rfloor\\
xk^l-\lfloor\frac\rfloor\cdot y&=x-\lfloor\frac\rfloor\cdot y\\
xk^l &\equiv x \pmod y\\
k^l &\equiv 1 \pmod y\\
\gcd(k,y)&=1
\end
\]那麼題意就可以轉換為求：
\[\sum_^\sum_^[\gcd(i,j)=1][\gcd(j,k)=1]
\]先化簡原式，有：
\[\begin
&\sum_^\sum_^[\gcd(i,j)=1][\gcd(j,k)=1]\\
&=\sum_^\sum_^[\gcd(j,k)=1]\sum_\mu(p)\\
&=\sum_^\sum_^[\gcd(j,k)=1]\sum_^\mu(p)[p|i][p|j]\\
&=\sum_^\mu(p)\sum_^\sum_^[p|i][p|j][\gcd(j,k)=1]\\
&=\sum_^\mu(p)\sum_^\sum_^[\gcd(j,k)=1]\\
&=\sum_^\mu(p)\lfloor\frac\rfloor\sum_^[\gcd(j,k)=1]\\
&=\sum_^\mu(p)[\gcd(p,k)=1]\lfloor\frac\rfloor\sum_^\rfloor}[\gcd(j,k)=1]\\
\end
\]再設個函式，並化簡：
\[\begin
f(n)=\sum_^[\gcd(i,k)=1]
\end
\]思考，當 \(i>k\) 時，有 \(\gcd(i,k)=\gcd(i+k,k)\)，那麼答案肯定是呈現乙個長度為 \(k\) 的迴圈，那麼有：
\[\begin
f(n)
&=f(n \bmod k)+\lfloor\frac\rfloor\varphi(k)
\end
\]那麼原式等於：
\[\sum_^\lfloor\frac\rfloor f(\lfloor\frac\rfloor)\mu(p)[\gcd(p,k)=1]
\]現在已經有整除分塊了，然後是處理 \(\sum\limits_^\mu(i)[\gcd(i,k)=1]\) 字首和的問題。
法一
設前面那個式子為 \(s(n,k)\)。
嘗試化簡 \(s(n,k)\)，則有：
\[\begin
s(n,k)&=\sum_^\mu(i)[\gcd(i,k)=1]\\
&=\sum_^\mu(i)\sum_^\mu(p)[p|i][p|k]\\
&=\sum_^\mu(p)\sum_^\mu(i)\\
&=\sum_^\mu(p)\sum_^\rfloor}\mu(ip)\\
&=\sum_^\mu(p)^2\sum_^\rfloor}\mu(i)[\gcd(i,p)=1]\\
&=\sum_^\mu(p)^2s(\lfloor\frac\rfloor,p)
\end
\]然後數論分塊即可。
法二
這裡是設前面那個式子為 \(s(n)\)，則有：
\[\begin
s(n)&=\sum_^\mu(i)[\gcd(i,k)=1]\\
&=\sum_^[\gcd(i,k)=1]s(\lfloor\frac\rfloor)-\sum_^[\gcd(i,k)=1]s(\lfloor\frac\rfloor)
\end
\]先看前面那個：
\[\begin
&\sum_^[\gcd(i,k)=1]s(\lfloor\frac\rfloor)\\&=\sum_^[\gcd(i,k)=1]\sum_^\rfloor}\mu(j)[\gcd(j,k)=1]\\
&=\sum_^\sum_^\rfloor}\mu(j)[\gcd(ij,k)=1]\\
&=\sum_^\sum_[\gcd(t,k)=1]\mu(d)\\
&=\sum_^[\gcd(t,k)=1][t=1]\\
&=1\end
\]那麼最終有：
\[s(n)=1-\sum_^[\gcd(i,k)=1]s(\lfloor\frac\rfloor)
\]數論分塊即可。
#include using namespace std;
const int _ = 1e6 + 5;
inline int read()
while(c >= '0' && c <= '9')
return x * f;
}int n, m, k;
int g[2007], a[_];
int cnt, vis[_], pri[_], mu[_];
mapans_a;
long long ans;
int f(int n)
void init()
for(int j = 1; j <= cnt && i * pri[j] <= _ - 5; ++j)
a[i] = a[i - 1] + mu[i] * (f(i) - f(i - 1)); }}
int f(int x)
return ans_a[x] = ans;
}signed main()
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
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