公鑰密碼學中大部分引用了數論的成果，所以必要在介紹rsa密碼體制之前，詳細介紹一下所使用的幾個數論的知識點
歐幾里得演算法主要是解決最大公約數問題，記兩個正整數\(r_0\)和\(r_1\)的\(gcd\)表示：
\[gcd(r_0,r_1)
\]在公鑰體系中，安全性依賴於大整數的因式分解通常是不可能的。所以人們通常使用一種更有效的演算法計算gcd，即歐幾里得演算法，此演算法基於乙個簡單的觀察：
\[gcd(r_0,r_1) = gcd(r_0 - r_1, r_1)
\]其中，假設\(r_0 > r_1\)，且二者均為正整數，不難理解：
\[gcd(r_0 - r_1, r_1) = gcd(g · (x - y), g · y) = g
\]顯然地，只要滿足\((r_0-mr_1) > 0\)，那麼可以得到：
\[gcd(r_0, r_1) = gcd(r_0 - r_1, r_1) = gcd(r_0 - 2r_1, r_1) = \cdots = gcd(r_0 - mr_1, r_1)
\]如果m選擇了最大值，則此演算法可以表示為：
\[gcd(r_0, r_1) = gcd(r_0\ mod\ r_1, r_1)
\]事實證明，最終的gcd就是原始問題的gcd，即：
\[gcd(r_0, r_1) = \cdots = gcd(r_i, 0) = r_i
\]擴充套件歐幾里得演算法可以用來計算模逆元，不難理解，上文所述的歐幾里得演算法就是輪詢反覆互減最終得到結果的，換句話說，可以將這樣的反覆互減看作是原始兩個引數的s倍與t倍相加，即：
\[gcd(r_0, r_1) = s·r_0 + t·r_1
\]這個等式通常也稱為丟番圖方程。
可以得到，擴充套件的歐幾里得演算法（eea）：
輸入：正整數\(r_0\)和\(r_1\)，且\(r_0 > r_1\)
輸出：\(gcd(r_0, r_1)\)，以及滿足\(gcd(r_0, r_1) = s·r_0 + t·r_1\)的s和t
initialize:
s[0] = 1
t[0] = 0
s[1] = 0
t[1] = 1
i = 1
algorithm:
do i = i + 1
r[i] = r[i - 2] mod r[i - 1]
q[i - 1] = (r[i - 2] - r[i]) / r[i - 1]
s[i] = s[i - 2] - q[i - 1] * s[i - 1]
t[i] = t[i - 2] - q[i - 1] * t[i - 1]
while r[i] != 0
return:
gcd(r[0], r[1] = r[i - 1]
s = s[i - 1]
t = t[i - 1]
於是我們可以定義尤拉函式來進行計算：
\(z_m\)內與m互素的整數個數可以表示為\(\phi(m)\)
如果數值非常大的話，將集合內的元素從頭到尾都處理一遍，計算每乙個的gcd非常慢，對應的尤拉函式值得求解也非常困難，但是，如果m的因式分解是已知的，則存在乙個更簡單的計算方法：
假設m可以因式分解為一下的數的連乘：
\[m=p^_1 \cdot p^_2 \cdot \cdots \cdot p^_n
\]其中，\(p_i\)表示不同的素數，\(e_i\)表示正整數，則有：
\[\phi(m)=\prod^n_(p_i^ - p_i^)
\]需要強調的是，這種方法來快速計算尤拉函式，我們必須知道m的因式分解，這個特徵你剛剛也是rsa公鑰方案的核心。
費馬小定理如下描述：假設a為乙個整數，p為乙個素數，則
\[a^p \equiv a\ (mod\ p) \\ a^ \equiv 1 \ (mod\ p)
\]該定理在密碼學中非常有用，其中乙個應用就是計算有限域內某個元素的逆元。 因為 \(a \cdot a^ \equiv 1\ (mod\ p)\)。但請注意，只有p為素數時，這種反轉方法才成立。
將費馬小定理的模數推廣到任何整數模，即不一定為素數的模，就可以得到尤拉定理：
假設a和m都是整數，且\(gcd(a, m) = 1\)，則有：
\[a^ \equiv 1\ (mod\ m)
\]這個定理對模數m適用，也適用於整數環\(z_m\)內的所有整數。
該密碼體系是目前最廣泛使用的一種非對稱密碼方案，在實際中常用於以下幾個方面：
這裡必須要注意，rsa加密並不是為了取代對稱密碼，因為它非常慢。利用rsa通常是用於安全地交換對稱密碼體系中的金鑰。所以rsa通常與對稱密碼一起使用。
rsa的加密與解密都是在整數環\(z_m\)內完成的，模計算發揮了核心作用。
使用公鑰進行加密和使用金鑰進行解密的方法可以表示為如下：
給定公鑰\((n, e) = k_\)和明文\(x\)，則加密函式為：
\[y = e_}(x) \equiv x^e\ mod\ n
\]其中，\(x, y \in z_n\)
給定私鑰\(d = k_\)及密文\(y\)，則解密函式為：
\[x = d_}(y) = y^d\ mod\ n
\]其中，\(x, y \in z_n\)
由於攻擊者可以得到公鑰，所以，對於給定公鑰值e和n，確定私鑰d在計算上必須是不可行的。
由於x只是唯一地取決於模數n的大小，所以一次rsa加密的位數不能超過l，其中l指的是n的位長度。
計算\(x^e\ mod\ n\)和\(y^d\ mod\ n\)應該相對簡單（快速計算長整數的指數方法）
給定乙個n應該對應很多金鑰/公鑰對，否則，不可抵禦暴力攻擊
選擇兩個大素數p和q
計算\(n = p \cdot q\)
計算\(\phi(n) = (p - 1)(q - 1)\)
選擇滿足以下條件的公開指數， \(e \in \\) $$gcd(e, \phi(n)) = 1$$
計算滿足以下條件的私鑰d $$d \cdot e \equiv 1\ mod\ \phi(n)$$
分組密碼體制
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對稱金鑰密碼體制和公開金鑰密碼體制
一 對稱金鑰密碼體制 資料加密標準 des 是對稱分組密碼體制，它的金鑰長度為64位，實際金鑰長度即主金鑰為56位，用於生成每輪加密迴圈體制的金鑰，將64位明文加密為64位暗文。加密迴圈體制位數為16位，從k1，k2.k16,解密過程與之相反,從k16.k1，des的加密金鑰與解密金鑰相同，屬於對稱...
古典密碼 單錶密碼體制
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