威爾遜定理
當 (p−1
)!≡−
1(mo
dp)(
p−1)
!≡−1
(mod
p)時，pp
為素數。p∣
(p−1
)!+1
p∣(p
−1)!
+1即(p
−1)!
≡(p−
1)≡−
1(mo
dp)(
p−1)
!≡(p
−1)≡
−1(m
odp)
證明（靜下心看）：
充分性：(p
−1)!
≡−1(
modp
)⟺p∣
(p−1
)!+1
(p−1
)!≡−
1(mo
dp)⟺
p∣(p
−1)!
+1假設pp
不是質數，且 a
a是 p
p 的質因子。
易知a∣(p
−1)!
a∣(p
−1)!
，則a∤(p
−1)!
+1a∤
(p−1
)!+1
而p∣(p
−1)!
+1⟹a
∣(p−
1)!+
1p∣(
p−1)
!+1⟹
a∣(p
−1)!
+1，前後矛盾！
故 pp
一定為質數。
必要性：
必要性：
當p為2，( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 顯然成立
當p為3，( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 顯然成立
對於p>=5，令m=.
對於a∈m，令n=
令1 <= t1 <= p-1 ,1 <= t2 <= p-1,t1 ≠ t2
那麼t1*a∈n，t2*a∈n。
若t1*a≡t2*a (mod p) ，那麼|t1-t2|*a ≡ 0 (mod p)。
因為|t1-t2|*a∈n，與n中元素不能被p除盡矛盾。
所以t1*a≡t2*a不成立。
那麼n中元素對p取模後形成的集合為.
設x*a ≡ 1 (mod p)。
當x=1時， x*a=a, 對p取模不為1，所以不成立。
當x=p-1時，(p-1)*a=p*a-a, 對p取模不為1，所以不成立。
當x=a時，a*a≡1 (mod p)，可得(a+1)*(a-1)≡ 0 (mod p),a=1或a=p-1 ，所以不成立。
綜上所述，x,a∈m，並且當a不同時，x也隨之不同。
所以，m集合中每乙個元素a都能夠找到乙個與之配對的x，使得x*a ≡ 1 (mod p).
(p-1)!=1*2*3*...p-1
=1*(2*x1)*(3*x3)*...*(p-1)
所以， (p-1)!≡1*(p-1) (mod p)
即，(p-1)!≡-1 (mod p)
證明完畢
數論學習四之 威爾遜定理
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