矩陣鏈乘法問題( matrix-chain multiplication problem )
(1)問題描述
給定n個矩陣的鏈，其中i=1,2,…,n，矩陣a i的維數為pi-1 ×p i 。求乙個完全「括號化方案」，使得計算乘積a 1 a 2 …a n 所需的標量乘法次數最小
(2)最優括號化方案的結構特徵
用記號 a i,j 表示 ai a i+1 …a j 通過加括號後得到的乙個最優計算模式，且恰好在a k 與a k+1 之間分開。則「字首」子鏈ai a i+1 …a k 必是乙個最優的括號化子方案，記為a i,k ；同理「字尾」子鏈a k+1 a k+2 …aj 也必是乙個最優的括號化子方案，記為a k+1,j。
(3)乙個遞迴求解的方案
對於矩陣鏈乘法問題，我們將所有對於1≤i≤j≤n確定ai a i+1 …a j 的最小代價括號方案作為子問題。令m[i,j]表示計算矩陣a i,j 所需要的標量乘法的次數最小值，則最優解就是計算a i...n所需的最低代價就是m[1,n]
遞迴定義m[i，j]。
①對於i=j的情況下，顯然有m=0，不需要做任何標量乘法運算。所以，對於所有的i=1、2......n，m[i，i] = 0.
②當i < j的情況，就按照最優括號化方案的結構特徵進行計算m[i,j]。假設最優括號化方案的分割點在矩陣ak和ak+1之間，那麼m的值就是ai...k和ak+1...j的代價加上兩者量程的代價的最小值。即
。該公式的假設是最優分割點是已知的，但是實際上不知道。然而，k只有j-i中情況取值。由於最優分割點k必定在i~j內取得，只需要檢查所有可能的情況，找到最優解即可。可以得出乙個遞迴公式
m只是給出了子問題最優解的代價，但是並未給出構造最優解的足夠資訊(即分割點的位置資訊)。所以，在此基礎之上，我們使用乙個二維陣列s[i,j]來儲存 ai a i+1 …a j 的分割點位置k。
(4)我們採用自底向上**方法來代替上述遞迴公式演算法來計算最優代價。過程中假定矩陣a的規模為pi-1xpi，輸入是乙個序列p=，長度為p.length = n+1.其中使用乙個輔助表m來記錄代價m[i,j]，另乙個表s來記錄分割點的位置資訊，以便於構造出最優解。
簡單介紹一下演算法：首先在3~4行對所有的i=1、2......n計算m[i,i]=0。然後在5~13行中的第乙個for迴圈，使用(3)中的遞迴公式對所有的i=1~n-1計算m[i,i+1](長度為l=2的最小計算代價)的值。在第二個迴圈中，對所有的i=i~n-2計算m[i,i+2](長度為l=3的鏈的最小計算代價)的值。到最後，10~13行中計算代價m[i,j]的時候僅僅依賴於上面計算的表項m[i,k]和m[k+1,j]
(5)給乙個簡單的例子
①給出乙個n=6的矩陣如下圖所示
②由上述表我們按照下面這樣的計算方式來得到m[i,j]所對應的表，下圖所示的**中代表的m[i,j]的最小值
③可以得到下面這樣一張表
首先將矩陣化為一張一維陣列表
④簡單結算其中的一些表項，給出乙個m[1,3]的值的計算過程如下:
可以得出上面的比較小的分割點為1，所以s[1,3] = 1。
可以得出分割點的位置為s[2,5] = 3。
上面給出了乙個簡單的兩個點的計算。下圖是計算完成的矩陣m和s
由上面表s可以得到，最優解為(a1(a2a3))((a4a5)a6)
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