給定乙個n個矩陣的序列，我們希望計算它的乘積 a1a2a3...an，我們可以用括號標定計算次序，然後再利用標準的矩陣乘法演算法來計算，由於矩陣乘法滿足結合律，所以任何一種計算順序最後的計算結果都是相同的。
完全括號化的矩陣乘積鏈：它是單一矩陣，或者兩個完全括號化的矩陣乘積鏈的積，並且已經外加括號；例如矩陣鏈（a1，a2，a3，a4），則有下邊5種完全括號化的矩陣鏈：
對矩陣鏈加括號雖然對計算結果沒影響，但是計算過程中所花費的代價卻是影響巨大。我們先來做簡單的分析，首先a，b矩陣能相乘的條件是兩個矩陣相容（即a矩陣的列數等於b矩陣的行數），設a是n*m階，b是m*r階，那麼要進行n*m*r次標量乘法運算；舉個例子：設a1，a2，a3三個矩陣分別為10x100,100x5,5x50階，若按（a1（a2a3））順序計算，那麼總共進行（100x5x50）+（10x100x50）=75000次標量乘法運算；若按（（a1a2）a3）順序，那麼總共進行（10x100x5）+（10x5x50）=7500次標量乘法運算，第二種順序比第一種運算快10倍。
引入矩陣乘法鏈問題：給定n個矩陣的鏈（a1，a2，...an），矩陣ai的規模pi-1xpi，求完全括號化方案，使得a1a2...an的乘積所需的標量乘法次數最小。
在此之前先來考慮一下完全括號化方案的總數，用p(n)表示方案總數，當n=1時，只有乙個矩陣，只有一種方案；n>=2時，這樣考慮，完全括號化的矩陣乘積可以看成兩個完全括號化的部分積的形式，總結成下邊的式子：
下邊根據動態規劃的4個步驟來設計演算法：
1、最優括號化方案的結構特徵：
用ai...j表示aiai+1...aj的乘積，為了進行完全括號化，必須在ak,ak+1之間將鏈斷開，即對乙個整數k，我們先計算ai...k，ai+1...j，再計算兩者的乘積，此方案的代價是ai...k，ak+1...j的計算代價，加上兩者相乘的計算代價。有乙個重要的結論：在原問題ai...aj的最優括號化方案中，對子鏈ai...ak，ak+1...aj括號化的方案就是原問題的括號化方案。
2、乙個遞迴求解方案：
用m[i,j]表示計算ai...aj所需的標量乘法次數的最小值，那麼m[1,n]就表示整個問題的解。這樣來定義遞迴式，當i=j時，輸入只有乙個矩陣，即m[i,i]=0，當i
最後再加乙個量s[i,j]儲存劃分位置。
3、計算代價，給出實現：
自底向上**法
//自底向上**法
void min_chainorder_down2up(datatype p,int n,datatype m[n],datatype s[n])
{ for(int l=2;l<=n;l++)
{for(int i=1;i<=n-l+1;i++)
{int j=l+i-1;
m[i][j]=max_limits;
for(int k=i;k<=j-1;k++)
{int q=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(q
演算法時間複雜度o(n^3)，並且需要o(n^2)的記憶體來維護m和s這兩個表
4、構造最優解：
void print_result(datatype s[n],int i,int j)
{ if(i==j)
cout<
#include #define n 7
#define max_limits 100000
typedef int datatype;
using namespace std;
//自底向上**法
void min_chainorder_down2up(datatype p,int n,datatype m[n],datatype s[n])
{ for(int l=2;l<=n;l++)
{for(int i=1;i<=n-l+1;i++)
{int j=l+i-1;
m[i][j]=max_limits;
for(int k=i;k<=j-1;k++)
{int q=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(q
動態規劃之矩陣鏈乘法
雖然我們在 動態規劃之鋼條切割 裡面已經介紹過動態規劃的相關知識，這裡還是提一下動態的兩大特徵 1.最優子結構，原問題的解是在子問題的最優解的基礎上建立起來的 2.重疊子問題，即在不斷求解子問題的過程中會產生相同的子問題，而不是一直產生新的子問題 現在我們來看乙個例子，假設有三個矩陣 a1 10,1...
動態規劃 矩陣鏈乘法
矩陣鏈乘法問題 給定n個矩陣的鏈，矩陣ai的規模為p i 1 p i 求完全括號化方案，使得計算乘積a1a2 an所需標量乘法次數最少。m i j 表示矩陣鏈ai j所需標量乘法次數的最小值。m i j 0 i j m i j m i k m k 1 j p i 1 p k p j i k s 1....
動態規劃 矩陣鏈乘法
兩個矩陣相乘的計算量,對於一般的矩陣乘法來說，如矩陣a m,n 與矩陣b n,p 相乘需要進行的加法次數為m n p次乘法 由於矩陣乘法滿足結合律，因此矩陣相乘的結合性，會影響整個計算表示式的乘法執行次數 如下面的例子，a b c三個矩陣相乘，其中a 10,5 b 5,20 c 20,3 1 ab ...