學習筆記 計算幾何

2022-09-19 11:18:13 字數 1809 閱讀 1099

高中數學必修二內容，基本理論見 oiwiki。

先上**：

struct node


node(double _x,double _y)


void input()


node friend operator+(node a,node b)


double friend operator*(node a,node b)//點積


double friend operator^(node a,node b)//叉積


void rot(double a)


};
根據向量的座標表示，可以用 \((x,y)\) 來表示乙個向量。

struct node


node(double _x,double _y)


void input()


};
由於我們用座標表示乙個向量，那麼兩個向量相加減實際上就是對應座標的加減。

node friend operator+(node a,node b)


node friend operator-(node a,node b)
我們都知道 \(\vec\cdot\vec=|\vec||\vec|\cos\theta\)。其中 \(|\vec|=\sqrt\)，\(|\vec|=\sqrt\)，然後根據餘弦定理：\(d_^2=|\vec|^2+|\vec|^2-2|\vec||\vec|\cos\theta=(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2\)，可以得到：\(-2|\vec||\vec|\cos\theta=-2x_ax_b-2y_ay_b\) 即 \(|\vec||\vec|\cos\theta=x_ax_b+y_ay_b\)。

所以 \(\vec\cdot\vec=x_ax_b+y_ay_b\)。

double friend operator*(node a,node b)
我們都知道 \(|\vec\times\vec|=|\vec||\vec|\sin\theta\)。

我們都知道叉積有幾何意義就是兩條向量圍成的三角形面積的兩倍。

看張圖，可以發現所謂三角形面積的兩倍就是圖中黃色的面積。而黃色的面積就是 \(x_by_a-x_ay_b\)，由於 \(\vec\times\vec\) 的結果根據右手螺旋定則是負的，所以叉積的表示式就是 \(|\vec\times\vec|=x_ay_b-x_by_a\)。

叉積的用處還是非常多的。

double friend operator^(node a,node b)
嫖一張圖：

展開得：

\[\vec=(l(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha),l(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha))

\]\[=(l\cos\theta\cos\alpha-l\sin\theta\sin\alpha,l\sin\theta\cos\alpha+l\cos\theta\sin\alpha)

\]\[=(x\cos\alpha-y\sin\alpha,y\cos\alpha+x\sin\alpha)

\]

void rot(double a)
先上**：

struct line


line(node _s,node _e)


}

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