模擬退火詳解

很多人都學過貪心，但是貪心在一些情況並不適用，比如：

已知我們從黃色出發，找最小值。

貪心策略當然是一直往函式大小減小的地方偏移——但是，萬一不是單谷呢？我們會陷入如圖的藍色中無法自拔。

肯能你會想到：隨機找乙個點出發，然後貪心找最小值？多隨機幾遍，然後求全域性最小值？

你會發現複雜度暴增！！！！！！！！——所以如何處理這種問題呢？

模擬退火：啊，對對對~

是的！模擬退火就是一種類似於隨機化貪心的乙個演算法，在oi界也小有名氣（冥器）！（如題[noip2021] 方差）

原理圖：

如圖：在物理應用中分子排布可能是紊亂的，如果我們將它公升溫然後緩慢降溫，就可以生成完美的晶形！

而對於我們求解的：

怎麼形象描述它呢？

乙個有自己一定卡路里的人爬山，他想翻山找遠方的草藥給自己心愛的妻子，但是他並不知道山的那頭是什麼。所以他會在卡路里多的時候盡量去遠方探險，但是每次會花費他的卡路里以至於他後面不能翻過太高的山丘，而且他的揹包蠻大的，裝填著無數愛的草藥芳香四溢。

所以我們立刻（啊，對對對~）能設定模擬退火的引數：

1.初始溫度 t （1000-7000）

2.末尾溫度 p（1e-5~1e-15）

3.降溫係數 k (0.91~0.9975)

4.狀態空間（被降溫物體） s

5.當前能量 e ( new )

6.全域性能量 e （ old ）

一：metropolis準則- 以概率接受新狀態：

這就是物理（化學）方面類似的推論——一定概率的更新。

什麼意思呢？

我們已知：當前能量 e ( new ) ，全域性能量 e （ old ），那麼我們的目標是什麼，不就是減少目前的能量嗎？

所以：當當前能量少於全域性能量（即更新前的能量），那麼我們有概率為 1 的更新概率；

當當前能量大於全域性能量（即更新前的能量），那麼我們有概率為 exp（ - (e( new )-e( old ))/t）的更新概率 ( t為當前溫度) [exp(x)函式：e的x次方的函式如 exp(1)表示e的1次方=e=2.718281828… exp(0)表示e的0次方=1 exp(2)表示e的平方=7.3890561… e是乙個常數，等於2.718281828…]；

注意：有時候也不一定以以上方式更新，這只是比較妥的做法，概率方面是可以自己定的，但是一定以當前能量與全域性能量的關係來設定的。（除非直接暴力的隨機演算法）

二：

那麼怎麼生成新的當前溫度呢？，以生成小數為例：

當前將更新溫度=全域性溫度+(rand()*2-rand_max)*t;
if(不在狀態空間內)

即：在當前狀態的鄰域結構內以一定概率方式（均勻分布、正態分佈、指數分布等）產生。

三：溫度更新函式

若固定每一溫度，演算法均計算至平穩分布，然後下降溫度，則稱為時齊演算法；

若無需各溫度下演算法均達到平穩分布，但溫度需按一定速率下降，則稱為非時齊演算法。

本人用的：

t*=k;

四：內迴圈終止準則

本人使用的：

(t>1e-15)//可以改大一點

其他常用方法：

（1）設定終止溫度的閾值。

（2）設定外迴圈迭代次數。

（3）演算法搜尋到的最優值連續若干步保持不變。

（4）概率分析方法。

五：實現流程圖：

注意：以下是我自己總結的退火口訣：

初始溫度小心設(1000-3000)，又粗又大wa一臉

多次sa更保險，忘了卡時直接t[if((double)clock()/clocks_per_sec>=0.993)]

退火係數大膽設，不過0.9975會很厄

全域性、狀態不一樣，全域性必須菊部優

百年騙分一場空，不開srand見祖宗

退火需謹慎，退火不規範，靈封兩行淚

然後是[noip2021]方差的實現（玄學萬歲）：

#include using
namespace
std;
#define ll long long
const
int n=1e5+10
;const
double dw=0.9975
;int
a[n],n,c[n];
long
long
ans;
bool cmp(int a,int
b)ll en()
for(int i=1;i<=n;i++)em=(long
long)em*n;
for(int i=1;i<=n;i++)ranss=(long
long)ranss*ranss;
return (long
long)(em-ranss);
}void
sa()
int x=rand()%(n-1)+2,y=rand()%(n-1)+2
; 
while(x==y)x=rand()%(n-1)+2
; swap(c[x],c[y]);
ll m=en(),dt=ans-m;
if(dt>0
)else
if((double)rand()>=(double)rand_max*(double)exp((double)dt/t))
t*=dw;
}}int
main()
sort(c+2,c+n/2+1
,cmp);
sort(c+n/2+1,c+n+1
); ans=en();
while(1
)sa();
}

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