題解 NOI2015 壽司晚宴

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能學好多東西

題意描述：

兩個人各從正整數 2 ~ n(<=500) 中取一些數，可以不取；若取出的兩個集合中，任意屬於不同集合的的兩個元素都互質，則方案合法；求合法方案數

首先注意到乙個方案合法的等價條件是：兩個人的質數集合沒有交集

可以想到 \(f[s1][s2]\) 表示兩個人的質數集合為 s1 和 s2 \((s1\and s2=0)\) 時的方案數，當然還有隱藏的一維：前 i 個數

設第 i 個數的質數集合為 s，則有遞推式：

\[f[i][s1|s][s2] += f[i-1][s1][s2], \ (s\and s2=0) \\ f[i][s1][s2|s] += f[i-1][s1][s2], \ (s\and s1=0)

\]但是 n=500 時顯然狀壓不下那麼多的質數

我們需要注意到乙個性質：對於乙個數 \(x\)，最多只有乙個大於 \(\sqrt x\) 的質因子

對應此題，即所有數最多只有乙個大於 22 的質因子，而小於 22 的質數只有 8 個

我們可以考慮只狀壓前 8 個質數，對於更大的質數的不重複取，用排序來處理：那個大質數，要麼屬於集合 s1，要麼 s2，要麼都不屬於

對每個數字，預處理得到其質因子的前 8 個質數的集合 s，和唯一乙個大質數 p（無則設為 1）

所有數字按 p 排序，然後遞推：

設 \(f[i][s1][s2]\) 表示前 i 個數，（前 8 個）質數集合為 s1, s2 的方案數，設 \(f1[i][s1][s2]\) 表示當前的大質數只可能由第 1 個人取的方案數，\(f2[i][s1][s2]\) 同理

則對於當前出現的乙個新的大質數（對應的一段區間），首先將 f 複製給 f1, f2，然後 f1 和 f2 按各自的規則遞推，最後再相加賦值給 f；兩者都不包括當前質數的情況算了兩次，所以要扣除一倍 f：\(f[s1][s2] = f1[s1][s2] + f2[s1][s2] - f[s1][s2]\)

\[f1[i][s1|s][s2] += f1[i-1][s1][s2], \ (s\and s2=0) \\ f2[i][s1][s2|s] += f2[i-1][s1][s2], \ (s\and s1=0)

\]實現的時候我們可以不用滾動陣列，注意到被貢獻的 s1 始終小等於被修改的 s1|s（且每個數隻被貢獻出去一次），所以可以從大往小列舉 s1, s2

#include #include #include using namespace std;
typedef long long ll;
const int pri[8] = ;
const int inf = 260;
int n; ll mod;
ll f[inf][inf], f1[inf][inf], f2[inf][inf];
struct node 
int main()
} if (i==n-1 || p[i].p==1 || p[i].p!=p[i+1].p) 
}} }
ll ans = 0;
/* for (int s1=0; s1<=3; s1++)
for (int s2=0; s2<=3; s2++)
printf("f[%d][%d]=%lld\n", s1, s2, f[s1][s2]);*/
for (int s1=0; s1<=255; s1++)
for (int s2=0; s2<=255; s2++) add(ans, f[s1][s2]);
printf("%lld\n", ans);
}

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