虛樹學習筆記

在樹上 dp 的問題中，可能有多次詢問，每次詢問包括的總點數規模較小（例如 \(10^5\)）。我們記節點數為 \(n\)，詢問次數為 \(m\)，詢問中總點數為 \(\sum k\)，那麼直接在整棵樹上暴力 dp 的複雜度為 \(\mathcal(nm)\)，不可接受。能不能發明一種 dp 的方法，不需要訪問所有節點，只訪問 \(\mathcal(k)\) 個節點呢？這樣時間複雜度就優化成了 \(\mathcal(m+\sum k)\)。

這種方法當然是有的，就是虛樹。

我們稱單次詢問中涉及到的節點為關鍵節點，它們兩兩的 lca 為關鍵 lca。

虛樹是我們構建的一棵外向樹，它只包含所有關鍵節點、關鍵 lca 和樹根，其它的不重要的節點都被壓沒了，因為它們對答案沒有貢獻，遞迴地計算它們只會浪費時間。

舉個例子，對於下面這棵樹：

如果關鍵節點為 \(\\)，則虛樹（外向樹）長這個樣子：

容易發現虛樹的點數不超過 \(2k\)（證明考慮每次至少合併兩個點，直到合併到根）。

我們需要預處理出整棵樹的 dfs 序時間戳，節點 \(u\) 的時間戳記為 \(_u\)。

我們使用乙個棧來暫存樹鏈，棧底為根，棧頂為當前列舉到的樹鏈底端。由於需要訪問次頂端（也就是頂端下面的元素），stl 的std::stack不那麼方便，我們使用手寫棧。\(stk\) 為棧，從下標 \(1\) 開始存，\(top\) 為棧頂指標，指向棧頂元素（而不是棧頂元素的後乙個）。

我們先對所有關鍵點按照 \(dfn\) 公升序排序，然後把它們依次插入虛樹。下面考慮怎麼把乙個點插入虛樹：

如果棧中只有乙個元素即根節點，我們延長這條樹鏈，即stk[++top] = u;。

令 \(lca\) 為 \(u\) 和 \(_\) 的 lca，如果 \(lca=_\)，就意味著 \(u\) 是 \(_\) 的後代，我們延長這條樹鏈，即stk[++top] = u;。

如果 \(lca\ne_\)，就意味著 \(u\) 和 \(_\) 屬於它們 lca 的兩棵子樹，並且棧中這棵子樹已經構建完畢，我們需要把 lca 包含的棧中樹鏈退棧並完成虛樹建邊，為了虛樹結構的完整性，如果 lca 不在棧中則需要壓棧，然後把當前節點壓棧，延長樹鏈。

這部分**如下：

void insert(ll u) 
ll lca = lca(u, stk[top]);
if(lca == stk[top]) 
while(top > 1 && dfn[lca] <= dfn[stk[top-1]]) 
if(lca != stk[top]) 
stk[++top] = u;
}

給定一棵 \(n\) 點的有邊權樹，\(m\) 次詢問，每次給定 \(k\) 個點，查詢要使得這 \(k\) 個點均不與 \(1\) 連通需要切斷的邊的最小邊權和。

設 \(_u\) 表示節點 \(u\) 到根的路徑的最小邊權，即 \(_u=\min\limits_u\textrm1\}}w_i\)。

設 \(_u\) 表示 \(u\) 子樹內的關鍵點不與 \(u\) 連通需要切斷的最小邊權和，顯然答案為 \(_1\)。

容易得到轉移方程：

\[_u=\sum\limits_u\}}

\begin

_v,&v\textrm\\

\min(_v,_v)&\textrm\\

\end

\]發現轉移只與是否是關鍵節點有關，每次詢問建出虛樹然後 dp 即可。

注意虛樹清空時不能只清關鍵節點的出邊，因為還有關鍵 lca，我一開始就是沒清完結果造出了重複邊，可以再 dfs 一遍清空。

**如下：

//by: luogu@rui_er(122461)
#include #define rep(x,y,z) for(ll x=y;x<=z;x++)
#define per(x,y,z) for(ll x=y;x>=z;x--)
#define debug printf("running %s on line %d...\n",__function__,__line__)
#define fileio(s) dowhile(false)
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll n = 2.5e5+5; 
ll n, m, k, h[n], dfn[n], tms, fa[n][20], dis[n], mn[n], stk[n], top, tag[n];
vector> e[n];
vectorvg[n];
templatevoid chkmin(t& x, t y) 
templatevoid chkmax(t& x, t y) 
void dfs1(ll u, ll f) 
}ll lca(ll u, ll v) 
} if(u == v) return u;
per(i, 19, 0) 
} return fa[u][0];
}void insert(ll u) 
ll lca = lca(u, stk[top]);
if(lca == stk[top]) 
while(top > 1 && dfn[lca] <= dfn[stk[top-1]]) 
if(lca != stk[top]) 
stk[++top] = u;
}ll dfs2(ll u) 
void dfsclear(ll u) 
int main() 
dfs1(1, 0);
for(scanf("%lld", &m);m;m--) 
sort(h+1, h+1+k, [&](ll a, ll b) );
stk[top=1] = 1;
rep(i, 1, k) insert(h[i]);
while(top > 1) 
// for(auto v : vg[1]) printf("1 -> %lld\n", v);
// rep(u, 1, k) for(auto v : vg[h[u]]) printf("%lld -> %lld\n", h[u], v);
printf("%lld\n", dfs2(1));
rep(i, 1, k) tag[h[i]] = 0;
dfsclear(1);
} return 0;
}

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