洛谷P7112 行列式求值

這是乙個讓你掉頭髮的模板題

行列式 ($\texttt$) 是乙個函式定義，取值是乙個標量。

對乙個 $n\times n$ 的矩陣 $a$（$n$ 階方陣），其 $n$ 階行列式寫作 $\det(a)$ 或者 $|a|$，定義為：

\[\det(a)=|a|=\sum_p(-1)^\prod_^n a_

\]$p$ 表示乙個排列，所有可能的 $p$ 則是 $1$ 到 $n$ 這 $n$ 個數的全排列。$\tau(p)$ 表示乙個排列 $p$逆序對個數。

\[\begin18 & 5 & 1 \\12 & 2 &3 \\4& 2 & 1\end

\]我們今天的問題，僅限於如何把行列式的值求出來

我們發現 $\tau(p)$ 的奇偶性對行列式求值起到了很大的影響，所以我們需要了解排列的奇偶性相關。

交換對應矩陣的 $2$ 行（列），行列式的值取反

$\begin a_ &a_ &\cdots &a_\\\ a_ &a_ &\cdots &a_\\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\\ a_ &a_ &\cdots &a_\\\ a_ &a_ &\cdots &a_\\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\\ a_&a_&\cdots&a_\\\ \end = -\begin a_ &a_ &\cdots &a_\\\ a_ &a_ &\cdots &a_\\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\\ a_ &a_ &\cdots &a_\\\ a_ &a_ &\cdots &a_\\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\\ a_&a_&\cdots&a_\\\ \end$

(注意右邊的矩陣，只有中間那兩行是換了位置的，其餘都沒換位置)

證明如下：

設左邊的行列式為a，右邊為b求行列式的式子長這樣：

\[\det(a)=|a|=\sum_p(-1)^\prod_^n a_

\]我們對上面的式子做一點細微的修改，把它改成求$det(b)$

我們能不能構造乙個排列q，使得排列q是利用某種神秘力量，從排列p轉化而來，這樣就能用a的值來代替b了？

就像這樣：

\[\det(b)=\sum_p(-1)^\prod_^n b_ \ ?\ \sum_q(-1)^\prod_^n a_

\]當然可以。p和q的區別，僅在於第k位和第k+1位被換了位，這樣就有$b_=a_$了！代價是$\tau(p)=-\tau(q)$

則有：\[\det(b)=\sum_p(-1)^\prod_^n b_ = \sum_q(-1)^\prod_^n a_=-det(a)

\]行列式的行（列）所有元素等比例變化，則行列式的值也等比例變化：

我們用乘法分配律，即可證明這個性質

如果行列式對應矩陣 $a$ 中有一行（列），是對應 $2$ 個矩陣 $b,c$ 中分別的 $2$ 行（列）所有元素之和。那麼有 $\det(a)=\det(b)+\det(c)$；

我們可以對每個$b_i,?+c_i,$進行乘法分配律，來完成證明

證明如下：

$\begin a_ &a_ &\cdots &a_\\ a_ &a_ &\cdots &a_\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_ &a_ &\cdots &a_\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ k\times a_ &k\times a_ &\cdots &k\times a_\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_&a_&\cdots&a_\\ \end=k\times \begin a_ &a_ &\cdots &a_\\ a_ &a_ &\cdots &a_\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_ &a_ &\cdots &a_\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_ & a_ &\cdots & a_\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_&a_&\cdots&a_\\ \end $

設右邊的矩陣為$a'$，由於存在兩行相同，我們交換兩行後可以得到$-a'$，且$-|a'|=|-a'|$

得$|a'|=0,|a|=0\times |a'|=0$

如圖所示：這是乙個三角行列式

$\begin \colora_ & \colora_ &

\colora_ & \color\cdots &\colora_ &a_\\ 0 &

\colora_ & \colora_ & \color\cdots

&\colora_ &a_\\ 0 &0 &\color a_ &\color

\cdots &\colora_ &a_\\ \color\vdots & \color\vdots

& \color\vdots & \color\ddots &\color \vdots &\vdots\\ 0 &0 &

0 & \color\cdots &\colora_ &a_\\ 0 & 0 & 0 & \cdots

&0 &a_\\ \end $

三角行列式的值非常好求： $|a|=\displaystyle\prod_^na_$

這一條式子很好證明：

我們考慮乙個情況，當乙個矩陣任意乙個位置出現 $0$，其對行列式的影響非常大。

因為我們考慮公式中 $\displaystyle\prod_^n a_$ 一項，一旦選到 $0$ 整個 $p$ 在

$\displaystyle \sum_p$ 中就沒有貢獻了。

在求行列式值時，序列p不指向對角線上元素時，是不是一定會選到0呢？

下面開始進入正題

我會暴力！

直接根據定義計算，行列式求值是 $\theta(n\times n!)$ 的。

有了上面七個性質，我們有辦法加快運算嗎？

我們考慮乙個情況，當乙個矩陣任意乙個位置出現 $0$，其對行列式的影響非常大。

因為我們考慮公式中 $\displaystyle\prod_^n a_$ 一項，一旦選到 $0$ 整個 $p$ 在

$\displaystyle \sum_p$ 中就沒有貢獻了。

下面進入大膽猜想：

我們能不能對原行列式a進行一系列的變換，使得它變成乙個三角行列式，像下面這樣？

\(a=\begin a_ & a_ & a_ & \cdots &a_\\\ a_ &

a_ & a_ & \cdots &a_\\\ a_ & a_ & a_ & \cdots

&a_\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\ a_ & a_ &

a_ & \cdots &a_\\\ \end\)

$\rightarrow$

\(\begin a』_

& a『_ & a』_ & \cdots &a『_\\\ 0 & a』_ & a『_ & \cdots

&a_\\\ 0 & 0 & a』_ & \cdots &a『_\\\ \vdots & \vdots &

\vdots & \ddots & \vdots\\\ 0 & 0 & 0 & \cdots &a』_\\\ \end\)

這個三角行列式，怎麼和高斯消元，完成加減消元時的矩陣很像？

我們能不能像高斯消元中加減消元一樣，利用行列式第$i$行的資訊，把第$i+1$到$n$行中$a[i]$變為0

**長這樣：

double sol()
} }for(int i=1;i<=n;i++) res*=a[i][i];
return res;
}

但是，此題要求你取模，模的數甚至不是質數？還乘不了逆元？

我們可以把除or乘逆元，換成輾轉相除？像這樣：

\[\begin18 & 5 & 1 \\12 & 2 &3 \\4& 2 & 1\end=-\begin12 & 2 &3 \\18 & 5 & 1 \\4& 2 & 1\end=-\begin12 & 2 &3 \\6 & 3 & -2 \\4& 2 & 1\end=\begin6 & 3 & -2 \\12 & 2 &3 \\4& 2 & 1\end=\begin6 & 3 & -2 \\0 & -4 &-1 \\4& 2 & 1\end

\]我們成功在$a[2][1]$處製造了乙個0出來！！

通過這樣的方式，我們就可以在p不為質數的時候，把這個行列式安全地化為三角行列式

消元操作是 $\theta(n^3)$ 的，輾轉相除法是 $\theta(\log p)$的，因為輾轉相除和消元每次必然使得數變小，勢能只會減少，所以這個是均攤到 $\theta(n^2)$ 的，最終複雜度為 \(\theta(n^2\log

n+n^3)\)。

#include#define inl inline
#define ll long long 
using namespace std;
const int n=605;
int n,a[n][n],mod;
inl int read()
inl int sol()
swap(a[i],a[j]);w=-w;
}//對第 i 行和第 j 行做輾轉相減。 
swap(a[i],a[j]);w=-w;
} }for(int i=1;i<=n;i++)res=1ll*a[i][i]*res%mod;
res=1ll*w*res;
return (res+mod)%mod;
}int main()

洛谷P7112 行列式求值

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洛谷 P1645 序列

洛谷 P1631 序列合併

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