牛頓迭代+泰勒展開+群論選講
我就想寫乙個題,發現我要補三個知識點。。。
牛頓迭代
用於求解方程
示例求解平方根,求解$x^2=5$,考慮這個怎麼求,那麼把這個東西看成乙個函式$f(x)=x^2-5$
那麼就是找$f(x)$當$f(x)=0$時$x$的取值,這個函式是乙個拋物線,就是找他和$x$的焦點
先找到$2$,發現不是很準確,那麼在$x=2$的位置對$f(x)$的影象做切線,和$x$軸產生交點
我們可以得到$x=2,y=4$,斜率$f'(x)=2x,f'(2)=4$,得到交點$x=2.25$
然後再次迭代,帶入,做切線,找交點,計算$log$次得到近似解
那麼考慮一般情況,就大概建構函式,找到他在$y=0$的近似解就好了
而且可以求解多項式...強悍如斯
牛頓迭代求解定義域為多項式的函式零點
上文說的牛頓迭代的過程是對於函式不斷做切線快速求出乙個函式的近似解
我們發現一些多項式可以由自己表示自己
大概長$f(x)=g(x)f(x)^2+a(x)$
這樣的式子也可以移項轉化成乙個關於多項式的函式,求這個函式等於$0$,時候的解是多少
就是求得多項式過程了
過程大致一樣,找切點,迭代求解
那麼怎麼找$f(f(x))$的零點
零點可能是個無窮次多項式,我們只需要前$n$項
定義$f(f(x))$是乙個定義域是多項式的函式
$f(f(x))=f(x)^2-g(x)=0$
有了這個東西,就需要求解
首先$f(x)$是未知項,$g(x)$是常數項
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泰勒展開
公式$f(x)=\sum_\frac(x_0)}(x-x_0)^i$
這個就是能用導數求得原函式值
考慮倍增求解
假設求出了$g(x)$滿足$f(g(x))=0 \ mod \ x^}$
大概就是找的乙個解,帶入原函式,求導,做切線,繼續迭代
帶入$f(f)$在$g$位置的泰勒展開,求導
$f(f)=\sum_\frac(g)}(f-g)^i$
考慮對原式子泰勒展開,
多項式求逆告訴我們$(f-g)^2=0(mod\ x^n)$
那麼$f(f)=f(g)+f'(g)(f-g)=0$
$f=g-\frac$
首先顯然的是,$g$已知,那麼$g$就是在$mod \ x^}$的解,那麼
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$loj6538$烷基計數
考慮答案多項式$a(x)$,第$n$項係數就是個數為$n$的生成樹的方案數
那麼不考慮算重複的計數是$a(x)=1+x\times a(x)^3$
就是說兒子的所有方案相乘再右移一位
但是這樣會出現空間同構的情況,那麼考慮用群論找出本質相同的情況
所有的置換一共有$6=3!$種
由$burnside$引理可知,不動點數量等於$\frac\sum_^$(當前置換的不動點數量)
那麼這個係數就是對應的置換有幾個,那麼就顯然了
那麼最後的式子就是
$a(x)=1+x\times\frac$
那麼對於這個式子,怎麼求解
假設我們求出$g(x)=f(x)(mod \ x^})$
那麼我們可以知道$f(x^2),f(x^3)$
為什麼,因為這個選兩個的話方案是一樣的,只需要乘一次,那麼現在選$2\times x$的方案數實際上是選$x$個的方案數
既然這樣,這個式子已經知道$mod \ x^}$
那麼可以知道$f(x^2),f(x^3)$,直接查係數就好了
設$f(x^2)=a,f(x^3)=b$
我們考慮牛頓迭代解
$f(f)=f-x\times\frac-1=0$
對於$f(x)$求導
$f'(f)=1-\frac(3f^2+3a)$
$f(f)=\sum_\frac(g)}(f-g)^i$
$f=g-\frac$
$f=g-\frac(g^3+3a*g+2b)-1}(3g^2+3a)}$
$f=\frac(2b-2g^2)+1}(3g^2+3a)}$
或許時間的差距無法彌補,那就盡自己最大努力就好啦,我希望省選完之後的我是無悔的。
或許再給我一次機會,我還會選$oi$,因為熱愛,儘管可能不盡如人意,就是這樣,贏要贏的漂漂亮亮,輸要輸的開開心心
$oi$,我仍懷著赤誠的心,我會努力到最後一刻的$!$
泰勒展開及其應用
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學習筆記 泰勒展開
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2009 11 18 16 59 51 分類 計算方法數學類 字型大小 訂閱 牛頓迭代法，牛頓下山迭代 include include float newtonfun float x0,float c float xiashanfun float x0,float c float fun1 floa...