若 \(p\) 為質數，且\(a\ge b\ge1\)，則有：
\[c_^\equiv c_^\cdot c_^
\]按照 \(p\) 進製拆分 \(a\) 與 \(b\) ,設 \(a\) 與 \(b\) 是 \(k\) 位，不足用 \(0\) 補足。
\[\left\
a&=a_0p^+a_1p^+\cdots+a_p^+a_kp^\\
b&=b_0p^+b_1p^+\cdots+b_p^+b_kp^
\end\tag
\right.
\]根據二項式定理有：
\[\begin
(1+x)^p&=c_p^0x^0+c_p^1x^1+c_p^2x^2+\cdots+c_p^x^+c_p^px^p\\
&=1+c_p^1x+c_p^2x^2+\cdots+c_p^x^+x^p\\
\end
\]\(\because p為質數\therefore1\sim p-1均與p互質\\\therefore c_p^2,c_p^3,\cdots,c_p^均能整除p,即c_p^2,c_p^3,\cdots,c_p^\,mod\,p=0\)
\[(1+x)^p\equiv(1+x^p)\,mod\,p\tag
\]即 \((1+x)^p\) 在模 \(p\) 的意義下與 \((1+x^p)\) 同餘。
設 \(a=\lfloor \frac\rfloor p+a\%p\)，\(a'=\lfloor \frac\rfloor\) 有：
\[\begin
(1+x)^a&=(1+x)^\rfloor p+a\%p}\\
&=(1+x)^\\
&=(1+x)^(1+x)^\\
\because a\%p=a_0
\therefore &=(1+x)^(1+x)^\\
&=\underline}(1+x)^\\
\because公式(2)
\therefore &=\underline(1+x)^}
\end\tag
\]再設 \(a'=\lfloor \frac\rfloor p+a'\%p\)，\(a''=\lfloor \frac\rfloor\) 有：
\[\begin
((1+x)^p)^&=(1+x^p)^\rfloor p+a'\%p}\\
&=(1+x^p)^\\
&=(1+x^p)^((1+x)^p)^\\
\because a'\%p=a_1
\therefore &=(1+x^p)^((1+x)^p)^\\
&=\underline((1+x)^p)^}\\
\because公式(2)
\therefore &=\underline)^(1+x^p)^}
\end\tag
\]同理，可得到：
\[(1+x^)^=(1+x^)^\underline)^}
\]這樣經過不斷的迭代，最終得到:
\[(1+x)^a=(1+x^)^*(1+x^})^}
*\cdots*(1+x^p)^*(1+x)^\tag
\]等式兩邊運用二項式分別求 \(c_a^bx^b\) ,右邊可以看作 \(b\) 個球分到了 \(k\)個 盒子裡，每個盒子裡面得數量就是 \(b_i(1\le i\le k)\) 得：
\[\begin
c_a^bx^b&=c_^x^c_}^}\,x^\,b_}\cdots c_^x^c_^x^\\
&=(\prod_^k^})(x^^})\\
\because 公式(1)中b的展開式
\therefore &=(\prod_^k^})x^b\\
\end
\]等式兩邊同時消去 \(x^b\) ，得：
\[c_a^b\,mod\,p\equiv \prod_^^}\tag
\]根據遞迴的過程，也可寫成：
\[c_a^b\,mod\,p=c_^c_^\tag
\]下面以acwing 887. 求組合數 iii為例：傳送門
#include #include #include using namespace std;
typedef long long ll;
const int n = 100010;
int n;
int p;
int qmi(int a, int b)
return res;
}int c(int a, int b)
return res;
}int lucas(ll a, ll b)
int main()
return 0;
}
盧卡斯 Lucas 定理
之前有寫過一篇部落格是求組合數 取模 的兩種方法。那篇文章裡介紹的方法其實也還有侷限性，pascal打表由於記憶體的限制一般只用於求取1000以內的組合數，而使用逆元套公式的方法其實也只適用於求取的組合數 c n,m p中，n 和 m均不大於要求的模數 p 這樣就導致了乙個很尷尬的問題 如果要求取的...
盧卡斯（Lucas）定理
c nm modp cn pm p cnm odpm modp modp c n m mod p c times c mod p cnm mo dp c n pm p cnmo dpmm odp modp p為素數 int qpow ll b,int n,int mod return res int...
盧卡斯定理Lucas
在數論中，lucas 定理用於快速計算 c m n p 即證明 c m n prod kc 其中 m i 為 m 的因式分解，n i 為 n 的因式分解，p 為質數。由 edward lucas 在1878年提出。證明 首先我們將 c i p 進行一下變式即 c i j frac 提出來乙個 fra...