AcWing 1310 數三角形

2022-10-11 18:54:10 字數 1112 閱讀 3824

題目傳送門

\(gcd(i,j)−1\)的證明

對於斜邊上的任何一點 \((x,y)\), 其滿足:

\[\large \frac=\frac

\]注意:\(a≤x≤c,b≤y≤d\)

可知:$$\large \displaystyle y=\frac(x-a)+b=\frac}}(x-a)+b

\\rightarrow

\y=\frac*\frac}+b \ \ \ x \in z^+

\[那麼如果使得 $y∈z^+$ 的話,必須使得 $\large \displaystyle \frac|(x-a)$,即:

$$\large x=\frac*q+a\]

對於條件 \(b≤y≤d\) 上述式子是由直線方程推出的,因此其在方程中等價於 \(a≤x≤c\), 因此我們只需要考慮 \(x\) 的範圍限制即可:

\[\large a≤x=\frac*q+a≤c

\\ \rightarrow

0 ≤ q ≤ gcd(d-b,c-a)

\]\(q\) 可以取這個區間中的所有整數,因此數量為 \(gcd(d−b,c−a)+1\)

然後我們分析對於區間中的任意乙個點 \((x,y)\), 由於上面 \(q\) 的範圍可知 \(a≤x≤c\), 因此均在斜邊上不加上兩個端點的話,就是 \(gcd(d−b,c−a)−1\)

本題使用容斥原理的思想

題目給定長是\(n\),寬是\(m\)的矩形,因此總端點數有\((n + 1) * (m + 1)\)個,從總端點數選\(3\)個點的情況有

\(\large \displaystyle c_^3\)種,再將不符合三角形規則的情況減去即可,即三角形的數目= \(\large \displaystyle c_^3\)-不滿足要求的情況(三點共線)

不滿足的情況

2497 數三角形

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