134
152512
76111489
1013
(a)12
3456
78910
1112
1314
15 (b)
(c)首先我們來回顧一下《計算機演算法基礎》這本書上對15-迷問題敘述：在乙個分成16格的方形棋盤上放有15個遍了號的牌（如上圖）。對這些牌給定一種初始排列圖(a)，要求通過一系列合法的移動將這初始排列轉換成圖(b)所示的那樣的目標排列（只有領接於空格的牌移動到空格才是合法的移動）。
易於看出棋盤上這些牌有16！種不同的排列。對於任意給定的初始狀態能否達到圖(b)所示的目標狀態？實際上任意初始狀態只能達到它所有狀態的一半，也就是說不是任意的初始狀態都可能達到目標狀態！我們先給棋盤的方格編上1-16的號碼。位置 i 是在圖(b)所示的目標排列中放 i 號牌的方格位置，位置16是空格的位置。假設 position( i )是編號為 i 的那塊牌在初始狀態下的編號，1<=i<16；position( 16 )表示空格的位置。對於任意一種狀態，設 less(i) 是使牌 j 小於牌 i 且 position( j ) > position( i )的數目（j 為任意滿足條件的數，1<= j < i）。例如，對於圖 7.2(a) 所示的狀態，有 less(1) = 0，less(4) = 1 和 less(12) = 6。在初始條件下，如果空格在圖(c)的陰影位置中的某一格處，則令 x = 1；否則令 x = 0。於是有如下定理。
定理：當且僅當是偶數，圖(b)所示的目標狀態可能由此初始狀態到達。
用通俗一定的話來說，less( i ) 就是數字比 i 小，但是位置在 i 後的牌的總和。如果初態可解，那麼 1 至 16 的 less( i )的加和加上 x 必為偶數。下面我用遞迴的方法來證明這個問題。證明的過程不是由初始態向目標態推演，而是由目標態向初始態轉變。因為如果給定初始態可轉變成目標狀態，那麼目標狀態在有限的步長下也可以轉變成初始狀態。所以對定義的證明可以轉化為證明從目標態出發，任意步移動後的狀態都滿足定理所述的條件。
如果從目標態出發經過 k 步可以轉變成初始狀態，那麼如果第1 步和第 k-1 成立，那麼第 k 步就一定成立。
證明：
設 p = less(i) 的加和 + x（定理公式）; 則目標態 p = 0;
第 1 步可以選擇 15 移動到空位，也可以選擇 12 移動到空位。如果選擇 15 移動，那麼less(15)=0， less(16) = 1， x = 1; p = 2 公式成立；如果選擇 12 移動到空位，那麼 less(12) = 3，less(16) = 4; x = 1; p = 8 公式仍然成立。（空格的牌號為16，為最大值）
假設第 k-1 步成立，那麼對於第 k 步也必定要成立。此時空格可以位於任意位置，假設處於 i，它可以選擇上、下、左、右任意的位置移動（如果範圍允許）。在左移的情況下，假設左邊數字為 j ，less( 16) = less(16)+1；less( j )不變，x = x +1 or x = x -1，其它任意值的less值也不會變化；所以 p = p 或者 p = p+2；因此空格左移成立，右移證明與左移相似。在上移的情況下，假設上一格的數字為 j，位於空格和 j 之間的牌共有三張。當空格移上之後 less(16) = less(16)+4；p = p + (+/-)1+(+/-)1+(+/-)1；x = x +1 or x = x -1；可以看出這三個數相加仍為偶數。取p = p + (+/-)1+(+/-)1+(+/-)1的原因是 j 後移三格後與這三個數字肯定分別存在大小關係，因此就必定有+1或-1的操作。下移與上移類似。
證畢。該證明可以進一步拓廣為 n-迷 (n puzzle) 問題。
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