向量運算簡介
作 者：老赫
如果不好好學，那麼下回我介紹乙個3d engine的時候你就麻煩大了。
質量保證:
只討論可以任意平移自由向量
以下原理適於你個人開發的3d系統,d3d系統,opengl系統
一.兩點距離
2d系統:
point1(x1,y1)，point2(x2,y2)
距離d=sqr( (x1-x2)*(x1-x2) + (y1-y2)*(y1-y2) )
3d系統:
point1(x1, y1, z1)，point2(x2, y2, z2)
xd = x2-x1
yd = y2-y1
zd = z2-z1
距離distance = squareroot(xd*xd + yd*yd + zd*zd)
做遊戲和demo永遠不要去做開方:
1.用lut查表技術(look up table )
2.在做碰撞檢測時,誤差distance*distance二規格化,單位化(normalize)
先要說向量的長度:
向量vector(x,y,z)
向量長度length(vector)= |vector|=sqr(x*x+y*y+z*z)
normalize後:
(x/length(vector),y/length(vector),z/length(vector))
方向不變,長度為1個單位
三.點乘 點積 數量積(dot product)
是一回事兒.首先明確兩個向量的點積是個標量.
中學物理的力做功就是向量點積的例子:w=|f|.|s|.cos(theta)
二向量點積:
vector1:(x1,y1,z1) vector2(x2,y2,z2)
dotproduct=x1*x2+y1*y2+z1*z2
很重要的應用:
1.求二向量余弦:
由我們最熟悉的力做功:
cos(theta)=f.s/(|f|.|s|)
可以判斷二向量的方向情況: cos=1同向,cos=-1相反,cos=0直角
曲面消隱(cull face)時判斷物體表面是否可見:(法線和視線向量的方向問題)cos>0不可見,cos<0可見
opengl就是這麼做的。
2.lambert定理求光照強度也用點積:
light=k.i.cos(theta)
k,i為常數,theta是平面法線與入射光線夾角
老王頭的fast bump(add hyper link here)也就是依據這個數學模型.但是他用了個很cheap的hack來模擬cosine
四.叉乘(cross product)
叉乘:vector1(x1,y1,z1),vector2(x2,y2,z2):
其結果是個向量.
方向是vector1,vector2構成的平面法線.再使用右手定則
長度是length(vector1)*length(vector2)*sin(theta)
theta是vector1 & vector2的夾角.
所以,平行的向量叉乘結果為0向量(長為0,方向任意)
計算結果向量:(ox,oy,oz)
ox = (y1 * z2) - (y2 * z1)
oy = (z1 * x2) - (z2 * x1)
oz = (x1 * y2) - (x2 * y1)
用途:計算法向量，這是生成3d圖形的很關鍵一步。
學會了?好樣的！你又重新達到了大學一年級的水平~~~~~~~~~~~~
向量運算簡介 by 老赫
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