一道智力題的數學解

2021-04-14 06:46:43 字數 1305 閱讀 8024

最近看數學。都看的有點鏽逗了。看到一道智力題,情不自禁的用數學來解了。。只是不知道結果對不對。

題目:已知:每個飛機只有乙個油箱, 一箱油可供一架飛機繞地球飛180度。飛機之間可以相互加油(注意是相互,沒有其他專門的加油機)問 為使一架飛機繞地球一圈回到起飛時的飛機場,最少需要出動幾架飛機?用掉幾箱油?(所有飛機從同一機場起飛,而且必須安全返回機場,不允許中途降落,中間沒有飛機場)

解:首先考慮一架飛機送的情況。設任務飛機為a.油的單位為度。一箱油為180度

1. 假設這架飛機飛過x度返航.並把油給a加滿 則 3x = 180 。給a的油料能飛x度。解得x為60度。這個時候a能飛到180 + 60 度。根據對稱性。去接的飛機,單架最遠也只能接60度。所以如果一架飛機送,至少須要兩架飛機去接。

2. 根據1的假設,如果最少需要三架飛機,那麼可以選擇一架去接,兩架送,或者兩架送一架接。這個應該是等價的。那麼我們來分析兩架飛機能送多遠。

設兩架飛機一架在x度處返航一架在y度處返航,y>x。 那麼在y度處,a可以接收的油料為y度。顯然送的兩架飛機返航後油料均用完是最理想的。那麼這兩架飛機總共消耗掉2(x+y)度的油。剩餘360-2(x+y)的油可以給a。

那麼顯然有 360-2(x+y) = y  

所以 y = 120- (2/3)x. 

為了得到y最大,顯然x越小越好。那麼x最小可以多小呢?

這個一看就知道飛過x後,返航,還剩餘的油料為180-2x。此時另外兩家架飛機能接收的油料總和為2x。

那麼必須x必須滿足2x >= 180-2x。 所以x>=45.

取x=45。得到y=90。

即兩架飛機,一架在x=45度處返航,一架在90度處返航能把a送出最遠距離為180 + 90。

根據對稱性,接的時候最少也需要2架飛機去接。一架在x處接,一架在45處接。

3:綜上,

a . 單架飛機送最遠送出180+60. 而兩架飛機接最遠接90度。顯然不行。

b . 兩架飛機最遠送出180+90。 單架飛機最遠接60度。顯然也不行。

所以,2中的結論4架為最少。

作為乙個延伸,如果n架飛架送。那麼最遠可以送出多遠呢?

可以證明,n架飛機的時候,返航距離為xi 那麼xi 為 (i * s)/(n+2) 。其中i為油料飛行距離。

所以,n架飛機最遠護送出距離為 n * s / (n+2)。

n=2 s = 180則,最遠距離為 2 * 180 / 4 = 90度, 即為2架飛機最多能讓任務飛機多飛行90度。無限架飛機護送則可可以直接把飛機送到終點。

一道智力題的數學解

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