度量空間(metric space)，又稱（賦範向量空間normed vector space）在數學中是指乙個集合，並且該集合中的任意元素之間的距離是可定義的。度量空間中最符合我們對於現實直觀理解的是三維歐氏空間。這個空間中的歐幾里德度量定義兩點之間距離為連線這兩點的直線的長度。
定義設x為乙個集合，d：x×x→r。若對於任何x,y,z屬於x，有
（i）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0當且僅當 x = y；
（ii）（對稱性）d(x,y)=d(y,x)；
（iii）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）
則稱d為集合x的乙個度量。稱偶對（x，d）為乙個度量空間，或者稱x為乙個對於度量d而言的度量空間。
稠密集 & 疏朗集：
解釋一：若b中的任意一點的任意鄰域內都含a的點，b就在a中稠密。或者說，b的閉包包含a，b在a中稠密。
若b在a的任何開子集中不稠密，就是疏朗集。
注意：稠密和疏朗不是兩個互補的概念。不稠密不一定就是疏朗集。疏朗是處處不稠密。
解釋二：a在b中稠密意思是說，b中任何一點都可用a中的點逼近，就像所有多項式組成之集在連續函式空間稠密一樣。
而疏朗集，他的閉包不含任何內點。就像康托集。
這兩個概念確實和所定義的拓撲有關。
解釋三：拿有理數集來說，「有理數集在實數集中稠密」也可以這樣想：對於實數集中的任何乙個點a，都可以在有理數集中找到乙個序列以a為極限。
距離和相似性度量
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7 5 度量空間中的緊緻性
7.5 度量空間中的緊緻性 本節重點 掌握度量空間中的緊緻空間 可數緊緻空間 序列緊緻空間 列緊空間之間的關係 由於度量空間滿足第一可數性公理，同時也是 定義7.5.1 設a是度量空間 x，中的乙個非空子集 集合a的直徑diam a 定義為 diam a sup若a是有界的 diam a 若a是無界...
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