曾經接到過乙個重量級的遊戲公司的**面試，問我遊戲中經常出現變換方程式中的座標除了x,y,z還有乙個w，是什麼含意？一時語塞。對方友善的岔開了這個話題。最近正好看一本書，專講3d數學基礎問題的，大概弄明白了這個w的來龍去脈，胡亂寫幾筆留著以後複習，但願不會誤人子弟。
2d線性變換只需要2x2矩陣，看下面的乘式：
(不會嵌入矩陣，只好分開來寫，看的時候自己在紙上畫吧)
v(x y)是2d座標
m(2x2)是2x2矩陣，元素一次為m11，m12，m21，m22
v*m = (x*m11+y*m12 x*m12+y*m22)
如果需要加上位移變換，需要用3x3矩陣，同時令矩陣第三行為偏移量，
令m(3x3)是3x2矩陣，除上面的四個元素，增加一行元素m31，m32
其中前四個元素組成的2x2矩陣為2d線性變換矩陣，增加了一行(m31, m32)，m31和m32分別為x和y的位移，如果只簡單增加一行到原來的2x2矩陣，矩陣變成3x2，2d向量v(x,y)是1x2的，乘法沒辦法做了，所以將2d向量中增加乙個分量擴充套件成3d分量v(x, y, w)。於是有
v*m = (x*m11+y*m21+w*? x*m12+y*m22+w*? x*m13+y*m23+w*?)
其中問號是因為只增加了一行，矩陣m沒有第三列，所以為矩陣增加第三列元素m31，m32，m33，以完成上面的程式
座標v(x y w)
矩陣m= }
v*m = (x*m11+y*m21+w*m31 x*m12+y*m22+w*m32 x*m13+y*m23+w*m33)
這個w該取多少呢？參考上面的乘式右邊的結果，要使線性變換的結果的x分量和y分量分別偏移m31和m32，只有令w=1。
而矩陣被擴充為3x3以保持向量維持在三個分量以繼續應用仿射變換。
v*m = (x*m11+y*m21+1*m31 x*m12+y*m22+1*m32 0+0+1*m33)
= (x*m11+y*m21+m31 x*m12+y*m22+m32 m33)
為了讓結果依然保持v(x y w)，其中w=1的形式，只有令m33=1
所以最後得到的座標是v(x y 1)
最後得到的矩陣是m }
從幾何意義上來說，就是把2d點限制在z=1的平面中，對於3d點(x, y, z)且z!=w，投影到z=1的平面，就是(x/w, y/w, 1).如果w=0，幾何上認為在無窮遠處的點，從上面的公式可以得到沒有位移的線性變換的結果，所以可以認為是對向量的變換，沒有大小，只有方向。
以此類推到3d座標系的4d齊次座標，可以帶來如下用途：
增加平移功能的變換矩陣，並通過w控制平移開關以區分位置和方向
類似於上面說的投影的概念，改變4x4矩陣第三列的分量可以得到投影矩陣
上面只是數學上的推導，實際的幾何圖形管道如何實現，我並不得知。回到剛開始提到的面試，不知道這樣回答是否能過關並要到乙個比較高的薪水，呵呵，不過估計有了上次的經歷，我已經進入了對方的招聘黑名單了。
齊次座標的理解
一直對齊次座標這個概念的理解不夠徹底，只見大部分的書中說道 齊次座標在仿射變換中非常的方便 然後就沒有了後文，今天在乙個叫做 三百年 重生 的部落格上看到一篇關於透視投影變換的 的文章，其中有對齊次座標有非常精闢的說明，特別是針對這樣一句話進行了有力的證明 齊次座標表示是計算機圖形學的重要手段之一，...
齊次座標的理解
一直對齊次座標這個概念的理解不夠徹底，只見大部分的書中說道 齊次座標在仿射變換中非常的方便 然後就沒有了後文，今天在乙個叫做 三百年 重生 的部落格上看到一篇關於透視投影變換的 的文章，其中有對齊次座標有非常精闢的說明，特別是針對這樣一句話進行了有力的證明 齊次座標表示是計算機圖形學的重要手段之一，...
齊次座標的理解
在乙個叫做 三百年 重生 的部落格上看到一篇關於透視投影變換的 的文章，其中有對齊次座標有非常精闢的說明，特別是針對這樣一句話進行了有力的證明 齊次座標表示是計算機圖形學的重要手段之一，它既能夠用來明確區分向量和點，同時也更易用於進行 仿射 線性 幾何變換。f.s.hill,jr。下面是作者對齊次座...