最大子串行之和問題
這個問題非常有趣，因為有很多中演算法可以解決這個問題。而這些演算法的執行效率也多種多樣。
下面我們將看到四種演算法，演算法複雜度從指數一直過渡到線性複雜度。
充分體現了演算法的優劣對執行效率的影響。
第一種**：
intmaxsubsum1( const vector & a )
return maxsum;
}這個演算法很簡單，
i表示子串行起始下標，
j表示子串行結束下標，遍歷子串行的開頭和結束下標，計算子串行的和，然後判斷最大子串行。很明顯的看出演算法複雜度是
o( pow( n, 3 ) )
第二種演算法
**：intmaxsubsum2( const vector & a )
} return maxsum;
}與第一種很相似，省去了選結束下標的迴圈語句，演算法複雜度是
o( pow( n, 2 ) )
第三種
採用了遞迴的「分而治之」
( divide-and-conquer )
的思想。
比如4 -3 5 -2 -1 2 6 -2
first second
把序列分為兩部分，那麼最長子序列要麼在
first
，要麼在
second
，要麼就既在
first
又在second
。第一中情況只要求
first
的最大子串行（遞迴呼叫），第二中情況只要求
second
的最大子串行（還是遞迴呼叫）。對於第三種情況，只要找到包含
first
最後乙個元素（在例子中是2）在
first
的最大子串行（例子中是4，
-3，5，
-2）和包含
second
起始元素（
-1）在
second
的最大子串行（-1，
2，6）然後相加就行了。
這種演算法的複雜度計算和計算斐波那契數列的複雜度相似，設
n 個數的執行次數是
t( n )
，那麼t( n ) = 2*t( n/2 ) + o( n )
其中t( 1 ) = 1
o( n )
可以看成
n ，那麼可以觀察得到
t( n ) = n * logn
intmaxsumrec( const vector & a, int left, int right )
int maxrightbordersum = 0, rightbordersum = 0;
for ( int i = center; i <= right; i++ )
return max3( maxleftsum, maxrightsum, maxleftsum + maxrightsum ); //
判斷三個數最大值的函式
}int
maxsubsum3( const vector & a )
第四種演算法
**：intmaxsubsum( vector & a )
return maxsum;
}非常短，而且一眼就看出演算法複雜度是
o( n )
級別的。
我們用i
表示子串行的起始下標，
j 表示子串行的終止下標。
原理是，當我們得到乙個子串行，如果子串行的第乙個數是非正數，那麼可以捨去，即
i++當乙個子串行的前
n個元素和為非正數時，是否也可以捨去呢？答案是可以的。
假設k 是i
到j中任意乙個下標。
sum( a, b )
表示子串行第
a個元素到第
b個元素之和。由於加到第
j個元素，子串行才開始為負數，所以
sum( i, k ) > 0
，sum( i, k ) + sum( k, j ) = sum( i, j ) ,
所以sum( k, j ) < sum( i, j ) < 0
所以如果把k到
j的序列附加到
j之後的序列上，只會使序列越來越小。所以i到
j的序列都可以捨去。
這個演算法的另外乙個優勢就是程式是一邊讀取一邊處理資料，
a[ i ]
的值不需要被記住，也就是說不需要把數列的一部分儲存在記憶體中。如果數列是儲存在磁碟上，或者是在網路中傳播就可以按順序處理。在任何時候，這個演算法都可以根據收到的資料給出結果。有這種特點的演算法叫做
on-line
演算法。
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