一元三次方程求根公式的解法

一元三次方程求根公式的解法

-------摘自高中數學**

一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d+0的標準型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=a^(1/3)+b^(1/3)型，即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出開立方裡面的內容，也就是用p和q表示a和b。方法如下：

（1）將x=a^(1/3)+b^(1/3)兩邊同時立方可以得到

（2）x^3=(a+b)+3(ab)^(1/3)(a^(1/3)+b^(1/3))

（3）由於x=a^(1/3)+b^(1/3)，所以（2）可化為

x^3=(a+b)+3(ab)^(1/3)x，移項可得

（4）x^3－3(ab)^(1/3)x－(a+b)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較，可知

（5）－3(ab）^（1/3）＝p,－(a+b)=q，化簡得

（6）a+b＝－q，ab＝-（p/3）^3

（7）這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題，因為a和b可以看作是一元二次方程的兩個根，而(6)則是關於形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理，即

（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a

(9)對比（6）和（8），可令a＝y1，b＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a

(10)由於型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為

y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)

y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)

可化為(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

將(9)中的a＝y1，b＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得

(12)a＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)

b＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)

(13)將a，b代入x=a^(1/3)+b^(1/3)得

(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)

式 (14)只是一元三方程的乙個實根解，按韋達定理一元三次方程應該有三個根，不過按韋達定理一元三次方程只要求出了其中乙個根，另兩個根就容易求出了。

總結：

乙個解的數學公式如下：

葉正盛2005-05-22

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一元三次方程求解

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