原文見
分析過程很清楚。這裡主要是**部分有改動。完全用c寫的，從檔案中讀入。另外，解法二的程式加了去重，求的是最長單調遞增子串行。
求陣列中最長遞增子串行
寫乙個時間複雜度盡可能低的程式，求乙個一維陣列（
n個元素）中的最長遞增子串行的長度。
例如：在序列1，
-1，2，
-3，4，
-5，6，
-7中，其最長的遞增子串行為1，
2，4，
6。
分析與解法
根據題目的要求，求一維陣列中的最長遞增子串行，也就是找乙個標號的序列
b[0],b[1],
…,b[m](0 <= b[0] < b[1] <
…< b[m] < n)
，使得array[b[0]]…。
解法一
根據無後效性的定義我們知道，將各階段按照一定的次序排列好之後，對於某個給定的階段狀態來說，它以前各階段的狀態無法直接影響它未來的決策，而只能間接地通過當前的這個狀態來影響。換句話說，每個狀態都是歷史的乙個完整總結。
同樣的，仍以序列1，
-1，2，
-3，4，
-5，6，
-7為例，我們在找到
4之後，並不關心
4之前的兩個值具體是怎樣，因為它對找到
6沒有直接影響。因此，這個問題滿足無後效性，可以通過使用動態規劃來解決。
可以通過數字的規律來分析目標串：1，
-1，2，
-3，4，
-5，6，
-7。
使用i來表示當前遍歷的位置
當i=1時，顯然，最長的遞增序列為（
1），序列長度為1.
當i=2
是，由於
-1<1
。因此，必須丟棄第乙個值後重新建立串。當前的遞增序列為（
-1），長度為1。
當i=3時，由於
2>1,2>-1
。因此，最長的遞增序列為（
1,2）
,(-1,2),
長度為2
。在這裡，
2前面是1還是
-1對求出後面的遞增序列沒有直接影響。（但是在其它情況下可能有影響）
依此類推之後，我們得出如下的結論。
假設在目標陣列
array的前i
個元素中，最長遞增子串行的長度為
lis[i]
。那麼，
lis[i+1]=max,array[i+1]>array[k],for any k <= i
即如果array[i+1]
大於array[k],
那麼第i+1
個元素可以接在
lis[k]
長的子串行後面構成乙個更長的子串行。於此同時
array[i+1]
本身至少可以構成乙個長度為
1的子串行。
根據上面的分析，就可以得到**清單
這種方法的時間複雜度為o(n2 + n) = o(n2 )
解法二
在前面的分析中，當考察第i+1 個元素的時候，我們是不考慮前面i 個元素的分布情況的。現在我們從另乙個角度分析，即當考察第i+1 個元素的時候考慮前面i 個元素的情況。
對於前面i 個元素的任何乙個遞增子串行，如果這個子串行的最大的元素比array[i+1] 小，那麼就可以將array[i+1] 加在這個子串行後面，構成乙個新的遞增子串行。
比如當i=4 的時候，目標序列為1，
-1，2，
-3，4，
-5，6，
-7最長遞增序列為
(1,2),(-1,2)。
那麼，只要
4>2,
就可以把
4直接增加到前面的子串行中形成乙個新的遞增子串行。
因此，我們希望找到前
i個元素中的乙個遞增子串行，使得這個遞增子串行的最大的元素比
array[i+1]
小，且長度盡量地長。這樣將
array[i+1]
加在該遞增子串行後，便可以找到以
array[i+1]
為最大元素的最長遞增子串行。
仍然假設在陣列的前
i個元素中，以
array[i]
為最大元素的最長遞增子串行的長度為
lis[i]。
同時，假設：
長度為1的遞增子串行最大元素的最小值為
maxv[1];
長度為2的遞增子串行最大元素的最小值為
maxv[2];
……
長度為lis[i]
的遞增子串行最大元素的最小值為
maxv[lis[i]];
本迴圈不變式p是：
p：k是序列
a[0:i]
的最長遞增子串行的長度，
0≤i ＜n 。
容易看出，在由i-1 到i 的迴圈中，a[i] 的值起關鍵作用。如果a[i] 能擴充套件序列a[0;i-1] 的最長遞增子串行的長度，則k=k+1 ，否則k 不變。設a[0;i-1] 中長度為k 的最長遞增子串行的結尾元素是a[j](0 ≤j ≤i-1) ，則當a[i] ≥a[j] 時可以擴充套件，否則不能擴充套件。如果序列a[0;i-1] 中有多個長度為k 的最長遞增子串行，那麼需要儲存哪些資訊？容易看出，只要儲存序列a[0;i-1] 中所有長度為k 的遞增子串行中結尾元素的最小值b[k] 。因此，需要將迴圈不變式p 增強為：
p：0 ≤i ＜n;k 是序列a[0;i] 的最長遞增子串行的長度；
b[k]
是序列a[0;i] 中所有長度為k 的遞增子串行中最小結尾元素值。
相應地，歸納假設也增強為：已知計算序列a[0;i-1](i ＜n) 的最長遞增子串行的長度k 以及序列a[0;i] 中所有長度為k 的遞增子串行中的最小結尾元素值b[k] 的正確演算法。
增強歸納假設後，在由i-1 到i 的迴圈中，當a[i] ≥b[k] 時，k=k+1 ，b[k]=a[i], 否則k 值不變。注意到當a[i] ≥b[k] 時，k 值增加，b[k] 的值為a[i] 。那麼，當a[i] ＜b[k] 時，b[l;k] 的值應該如何改變？如果a[i]則顯然應該將b[l] 的只改變為a[i], 當b[l] ≤a[i] ≤b[k] 時，注意到陣列b 是有序的，可以用二分搜尋演算法找到下標j ，使得b[j-1] ≤a[i] ≤b[j] 。此時，b[1;j-1] 和b[j+1;k] 的值不變，b[j] 的值改變為a[i] 。
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