燈的排列問題

【1995提高】燈的排列問題

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設在一排上有n個格仔（n≤20），若在格仔中放置有不同顏色的燈，每種燈的個數記為n1，n2，……nk（k表示不同顏色燈的個數）。(顏色數<4)

放燈時要遵守下列規則：

①同一種顏色的燈不能分開；

②不同顏色的燈之間至少要有乙個空位置。

例如：n=8（格仔數）

r=2（紅燈數）

b=3（藍燈數）

放置的方法有： r-b順序，b-r順序, 放置的總數為12種。

程式要求：求出排列方案總數。

input

資料輸入的方式為：

np1（顏色，為乙個字母） n1（燈的數量）

p2 n2

……q（結束標記，q本身不是燈的顏色）

output

排列方案總數

sample input

r 2b 3

sample output

source

ymh【解析】

這個題開始想的很複雜，想要一下子出解。

先簡化題目：相同顏色的燈必須放在一起，不同顏色的燈之間必須至少空乙個格仔，求排列總數。因為相同的燈必須放在一起，那麼可以把每種燈都看做只有乙個，將剩餘部分從總格仔數裡面減掉。這樣就可以看做是將m個不同顏色的燈放入n個格仔裡，要求任意兩個燈不可相鄰，求排列數。

本題的資料很弱，n<=20，顏色數<4。因此這樣思考，先不考慮燈的顏色，只要求每個燈不相鄰。可以用簡單的搜尋得出方案數，將這個方案數乘以顏色數的全排列數，即為本題答案。

我在想，如果本題的資料規模很大，搜尋加上剪枝也會超時的話，有沒有其他的方法來算。

可以這麼來做，依然是先不考慮燈的顏色，把所有的燈先放成一排，然後往裡「插空」。插空的時候要求燈和燈之間必須至少有乙個空，而最左端和最右端可以沒有空。

設最左端至最右端插的空數分別為 x1,x2,x3......xm+1，其中x1,xm+1>=0，x2,x3...xm>0（由x均為整數可知x2,x3...xm>=1）;

令y1=x1,y2=x2-1,y3=x3-1...ym=xm-1,ym+1=xm+1，其中 y1,y2...ym+1>=0;

由x1+x2+...+xm+1=n-m 可得 y1+y2+...ym+1=n-m+m-1=n-1;

這樣一來，問題就轉化為求不定方程非負整數解的個數的問題，根據組合數學的相關知識，可以知道解的個數為c(n-1+m+1-1,m+1-1)，即 c(n+m-1,m)。

知道這個以後，再乘以顏色數的全排列，即為答案了。

注意，算組合數的時候，應用分解質因數的方法，把分母約掉，將分子上的因數乘起來即可。

我只寫了第一種，搜尋也未加任何優化，這樣也是0ms過掉的，可見資料之弱。

程式如下：
var
a:array[1..53] of longint;
n,count,t,k,i:longint;
ans:int64;
s,c:string;
procedure try(l,x:longint);
var i:longint;
begin
if l=count then
begin
inc(ans);
exit;
end;
for i:=x+2 to n do
try(l+1,i);
end;
function fact(key:longint):int64;
var i:longint;
begin
fact:=1;
for i:=2 to key do
fact:=fact*i;
end;
begin
readln(n);
while true do
begin
readln(s);
if s='q' then break;
c:=copy(s,1,pos(' ',s)-1);
t:=ord(c[1])-ord('a')+1;
delete(s,1,pos(' ',s));
val(s,k);
inc(a[t],k);
inc(count);
end;
for i:=1 to 53 do
begin
dec(a[i]);
if a[i]>0 then
dec(n,a[i]);
end;
ans:=0;
for i:=1 to n do
try(1,i);
ans:=ans*fact(count);
writeln(ans);
end.

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