證明，對於所有正整數n，p(n)為真。
歸納法的敘述如下：
a）給出p(1)為真的證明。
b）給出「如果所有p(1),p(2),...,p(n)都為真，則p(n+1)也為真」的證明；這個證明應對任何正整數n都為真。
列舉幾種不太完整的敘述：
最簡單和常見的數學歸納法證明方法是證明當n屬於所有自然數時乙個表示式成，這種方法是由下面兩步組成:
遞推的基礎: 證明當n = 1時表示式成立。
遞推的依據: 證明如果當n = m時成立，那麼當n = m + 1時同樣成立。(遞推的依據中的「如果」被定義為歸納假設。 不要把整個第二步稱為歸納假設。)
點評：以上這種歸納法的敘述，是我們在高中證明題中經常用到的，但是這個敘述存在一點問題。在推理依據部分的敘述實際上削弱了原來歸納法的證明能力。按照原來的敘述，在證明遞推依據的時候，我們可用的資源是所有k<=n的資源，而上面的敘述中弱化為只有n=m的資源。
一般地，證明乙個與正整數n有關的命題，有如下步驟：
（1）證明當n取第乙個值時命題成立；
（2）假設當n=k（k≥n的第乙個值，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1是命題也成立。
這個敘述和上面的敘述存在同樣的問題。
下面我給出乙個典型的錯誤敘述:
對任意給定的a，命題：a^(n-1)=1成立。（這個命題顯然是錯誤的。）
a）當n=1時，a^(n-1) = a^(1-1)=a^0=1成立；
b）假設a^n-1對於1到n都成立，則
a ^((n+1)-1)=a^n=a^(n-1) * a^(n-1)/a^((n-1)-1)=1 * 1 / 1 = 1;
現在我們說上面的這個敘述存在的問題是，b)中用到的式子不是對所有的n成立，你會發現，當n = 1，時有a^((n-1)-1) = a^-1，
如果我們有a^-1=1的假定的話，那麼命題也是成立的。再乙個就是它對於n=2的情況並沒有進行證明。
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