１ 引言
越來越多的應用要求取樣模擬訊號，將其轉換為數碼訊號，對數碼訊號做各種計算和處理，然後再將它們轉換成模擬訊號。本文討論了如何取樣模擬訊號並對其整形以保持原始訊號的方法。
２ 基帶訊號的取樣和混疊分析
先從有限頻寬訊號著手討論，有限頻寬訊號是指某個頻率點（截止頻點）之外的所有頻率的頻譜成分的幅度都為０的訊號。如圖１中的ｇ(ｔ)，大於截止頻點α的頻率範圍內的頻譜分量全部為０。在這種情況下，α也就是這個基帶訊號的頻寬。對ｇ(ｔ)的取樣在數學上可以用以下方式表達：將ｇ(ｔ)乘以週期為ｔ的衝激函式。ｇ(ｔ)在衝激點的訊號值被取樣，而其它點的值都為０。從模擬訊號角度來看，就是按頻率ｆｓａｍｐｌｉｎｇ＝１／ｔ對ｇ(ｔ)取樣。取樣後的訊號ｓ(ｔ)可用以下公式表示：
為了得到取樣後訊號ｓ(ｔ)的頻譜，可對ｓ(ｔ)做傅利葉變換：
衝激串函式是乙個週期函式，可以用傅利葉級數表示，如下式：
此處的傅利葉係數為：
上式中積分的上下限只由乙個週期來決定。在保證等效的前提下，可以進行以下變換：用從負無窮到正無窮的傅利葉積分代替上式中的積分，週期性的衝激函式用基頻衝激函式代替，則上式可改寫為：
衝激串函式可用以下更方便做傅利葉變換的簡化形式表示：
考慮到乙個訊號可由它的傅利葉變換積分得到，如下式：
可得到如下最終結果
根據以上結果，再重新考慮被取樣的基頻訊號，它的傅利葉變換為：
兩個訊號ａ(ｆ)和ｂ(ｆ)的卷積定義為：
則ｓ(ｆ)可改寫為:
上式就是我們常說的取樣定律。它表明在時域裡按週期ｔ取樣得到的訊號會以１／ｔ 的頻率重複原始訊號的頻譜，如圖２所示。
為保留所有原始訊號的資訊，必須保證每乙個重複頻譜之間不發生混疊。否則，就不可能從取樣訊號中恢復出原始訊號。混疊意味著高頻段掩蓋了低頻段訊號，如圖３所示。為避免混疊，必須滿足以下條件：１／ｔ≥２α或１／ｔ≥２ｂｗ。也可用取樣頻率表示為：
還要注意的是對有限頻寬訊號的假設。從數學上分析，乙個訊號不可能是真正有限頻寬的。傅利葉變換定律告訴我們，如果乙個訊號在時域是有限的，則它的頻譜就會擴充套件到無窮大，如果它的頻寬是有限的，則它在時域上就是無限的。很顯然，我們找不到乙個具有無窮大週期的時域訊號，所以也不可能有真正的有限頻寬訊號。不過絕大部分實際訊號的頻譜能量都集中在有限頻寬中，因此前面的分析對這些訊號仍然有效。取樣正弦訊號可以非常簡單和方便地檢測出取樣頻率是否偏低，因為混疊現象是取樣頻率偏低所特有的現象。正弦訊號的頻譜裡的（衝激串函式）尖峰只在相應的頻率點出現，出現混疊時，尖峰會移到另乙個頻率點，這一點對應著混疊訊號。
ｆｓａｍｐｌｉｎｇ≥２ｂｗ
以上表明不會產生混疊的最小取樣頻率是２ｂｗ。這就是奈奎斯特取樣定律。
圖３給出了被混疊的取樣訊號。高頻訊號分量ｆｈ疊加在低頻部分。設計時，通常用乙個低通濾波器來恢復原始頻譜並將其它頻譜分量濾掉。當使用截止頻率為α的低通濾波器恢復圖３訊號時，它無法將混疊的高頻訊號濾掉，從而造成訊號的劣化。
３ 帶通訊號的取樣和混疊分析
再來看另一種有限頻寬訊號，帶通訊號。帶通訊號的低頻截止點不在０ｈｚ。圖４中的帶通訊號的頻譜能量範圍在αｌ和αｕ之間，它的頻寬定義為αｕ－αｌ。帶通訊號和基帶訊號的主要差異就是頻寬的定義。基帶訊號的頻寬等於它的高頻截止頻率，而帶通訊號的頻寬等於高頻截止頻率和低頻截止頻率之差。由前面的討論可知，取樣訊號以１／ｔ 的週期重複原始訊號的頻譜。因為這個頻譜實際上包括從０ｈｚ到原始帶通訊號低頻截止頻率之間的０幅值頻帶，所以實際的原始帶通訊號頻寬要比αｕ小。
４ 取樣方式及結果分析
以上特性決定了從取樣訊號恢復原始訊號的不同方法。對於高頻截止點相同的基帶訊號和帶通訊號，只要採用合適的帶通濾波器，帶通訊號的取樣頻率就可以降低（圖５中的白色矩形部分）。而低通濾波器在這種情況下無法恢復出原始訊號，由圖５可明顯看出，陰影部分仍然包含在恢復訊號頻譜中。所以如果要用低通濾波器恢復圖５中的帶通訊號，取樣頻率必須在２αｕ以上以避免混疊。有限頻寬訊號必須在滿足奈奎斯特定律的情況下才能被完全恢復。對於帶通訊號，用帶通濾波器時，採用奈奎斯特取樣頻率可避免混疊。否則就必須使用更高的取樣頻率。在實際應用中選擇ａｄｃ和ｄａｃ時，這一點很重要。
以下測試結果是用ｍａｘｉｍ公司最新推出的１２５ｍｓｐｓ、１２位ａｄｃ：ｍａｘ１９５４１測試得出的。圖６是它的輸出訊號頻譜，對應的輸入訊號頻率ｆｉｎ＝１１．５２８４ｍｈｚ。很明顯，最高的尖峰恰好出現在該頻率點上。頻譜圖里還有其他一些較小的尖峰，它們是由ａｄｃ的非線性引起的諧波造成的，和本文的討論主題無關。由於取樣頻率ｆｓａｍｐｌｅ ＝ １２５ｍｈｚ，遠遠大於奈奎斯特定律要求的輸入訊號頻率的２倍，因此沒有混疊現象。如果將輸入頻率提高到ｆｉｎ ＝ １８３．４８５６ｍｈｚ，大於ｆｓａｍｐｌｅ／２，此時應該會有混疊出現。圖７是ｆｉｎ＞ｆｓａｍｐｌｅ／２時的輸出頻譜圖，主尖峰落在５８．４８ｍｈｚ處，這就是混疊訊號。也就是說，在５８．４８ｍｈｚ出現了乙個原始訊號不包含的訊號。在圖６和圖７中都只給出了奈奎斯特頻率以下的頻譜，因為頻譜是週期性的，圖中的顯示部分已經包含了所有必要資訊。
圖6和圖7
５ 結論
以上測試結果表明取樣定律是訊號取樣應用的基本工具，嚴格的數學分析對於應用中的引數選擇也很重要。
訊號都是頻寬有限的嗎
首先從典型訊號入手 直流訊號 根據傅利葉變換，直流訊號對應變換為單位衝激訊號，而單位衝激訊號只在乙個點上有值，因此是頻帶有限的。問題是直流訊號在時間上永遠持續，實際中並不可能產生。矩形窗函式 對應的傅利葉變換為抽樣函式並在頻域上兩邊是擴散下去的，作為實際中典型訊號，頻帶並非有限，但訊號的能量卻集中在...
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