B 樣條曲線的導數

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定義如下：

如果原始的clamped節點向量是u

0(p+1), u

p+1, ..., u

m-p-1, u

m(p+1)，那麼移動第乙個和最後乙個節點使得第乙個和最後乙個節點重複度變成, p 而不是p+1，我們有乙個m - 1 個節點u

0(p), u

p+1, ..., u

m-p-1, u

m(p)的新節點序列。那麼，可證明在原來節點序列計算的n

i+1,p-1(u) 等於在新節點序列上的n

i,p-1(u)。因此，在新節點序列上的乙個b-樣條曲線的導數如下：

下面左圖是乙個5次的b-樣條曲線。它的導數曲線，其是乙個由新 n 個控制點定義的 p-1次b-樣條曲線，顯示在中圖。如同貝塞爾曲線的情況，這是乙個原始曲線的矢端曲線（hodograph）。下面右圖顯示的是控制折線刪除後的矢端曲線（hodograph）。 

clamped b-樣條曲線

我們知道乙個clamped b-樣條曲線經過第乙個和最後乙個控制點。實際上，它也與控制折線的第一邊和最後一邊相切。回憶上面的p 次b-樣條曲線c(u)的導數是

其節點向量通過將第乙個節點和最後乙個節點從原始節點序列去掉獲得。因此，第乙個(和最後乙個)節點的重複度是p，因此，上面的 p-1次b-樣條曲線是clamped。因為乙個clamped b-樣條曲線經過它的第乙個和最後乙個控制點，我們有c'(0) =q0 和c'(1) =qn-1。 因為，對i = 0有 u

0 = .... = u

p = 0 ，所以我們有

c'(0)上的切向量與從p0 到p1 的向量有相同的方向，而c(u) 與第一邊相切。基於同樣的推理，我們有下列結果：

c(u) 與最後一邊相切。總之，我們有下列重要事實： 

乙個clamped b-樣條曲線經過第乙個和最後乙個控制點且與控制折線的第一邊和最後一邊相切。

更高階導數

因為乙個b-樣條曲線的一階導數是另乙個b-樣條曲線，所以可以毫無困難地遞迴應用該技術來計算更高階導數。  

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譯註： 

本文翻譯是「b-樣條曲線（b-spline curves）教程」中的一部分，其餘翻譯部分見b-樣條曲線（b-spline curves）教程目錄」。 

「b-樣條曲線（b-spline curves）教程」是翻譯自c.-k. shene博士的cs3621 introduction to computing with geometry notes的有關b-樣條曲線部分的內容。

本文首發「博士數學家園 」

B樣條曲線的導數

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