b-樣條曲線——動機
motivation
定義 考慮設計乙個花瓶的剖面圖。下圖左邊是11次（degree）的貝塞爾曲線；但是它很難彎曲瓶頸到線段 p4p5。當然，我們可以在這個線段附近增加控制點來增加該區域的權重。但是這會增加曲線的次數（degree）。許多情況下，不值得使用如此高次（degree）的多項式。
如前面討論過的貝塞爾曲線的導數 ，我們可以將兩個貝塞爾曲線連線起來。只要第一條曲線的最後一段和第二條曲線的第一段有相同方向，我們至少可以獲得 g1 連續性，因為切向量有相同方向但可能有不同的長度（即，如果長度相同，它就是c1 連續的）。上邊中間圖使用了這個思想。它有3個3次貝塞爾曲線段，連線點用黃色矩形框標記。這說明有滿足 g1 連續條件的多重低階貝塞爾曲線段，我們可以設計出複雜形狀。但是，保持 g1 連續條件會是乏味和不受歡迎的。
有沒有可能我們仍用更低階曲線段而不用考慮 g1 連續條件? b-樣條曲線是貝塞爾曲線的推廣且正是為了解決這個問題的。上邊右圖是乙個8控制點的3次b-樣條曲線。實際上，由5條3次貝塞爾曲線段連線起來形成了由控制點定義的b-樣條曲線。 上圖中，那些小點把b-樣條曲線劃分為貝塞爾曲線段。可以像貝塞爾曲線那樣移動控制點來修改曲線的形狀。我們也可以修改曲線的細分（subdivision）。因此b-樣條曲線有更高階曲線設計的自由度。
直接細分（subdividing）曲線是很困難的。因此，我們細分曲線的定義域。因此，如果曲線的定義域是[0,1]，這個閉區間被稱為節點（knots）的點細分而成。設這些節點是 0 <= u0
<= u1
<= ... <= um
<= 1。那麼點c(ui)的曲線細分如下圖所示，因此，修改[0,1]的細分會改變曲線的形狀。
總之，為了設計乙個b-樣條曲線，我們需要一系列的控制點，一系列的節點和一系列的係數，每個係數對應乙個控制點，所以所有曲線段連線在一起滿足某個連續條件。係數的計算可能是最複雜的步驟因為它們必須保證某個連續條件。幸運的是，這個計算在本課程中不需要。我們只需要知道相關特性用於b-樣條曲線的推理就可以了。
譯註：
本文翻譯是「b-樣條曲線（b-spline curves）教程」中的一部分，其餘翻譯部分見「b-樣條曲線（b-spline curves）教程目錄」。
「b-樣條曲線（b-spline curves）教程」是翻譯自c.-k. shene博士的cs3621 introduction to computing with geometry notes的第6部分「b-spline curves」。
。本文首發「博士數學家園 」
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