錯排問題 就是一種遞推式，不過它比較著名且常用，所以要熟記！
方法一：
n各有序的元素應有n！種不同的排列。如若乙個排列式的所有的元素都不在原來的位置上，則稱這個排列為錯排。任給乙個n，求出1,2,……,n的錯排個數dn共有多少個。
遞迴關係式為：d(n)=(n-1)(d(n-1)+d(n-2))
d(1)=0,d(2)=1
可以得到:
錯排公式為
f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!]
其中,n!=1*2*3*.....*n,
特別地,有0!=0,1!=1.
解釋：
n 個不同元素的乙個錯排可由下述兩個步驟完成：
第一步，「錯排」 1 號元素（將 1 號元素排在第 2 至第 n 個位置之一），有 n - 1 種方法。
第二步，「錯排」其餘 n - 1 個元素，按如下順序進行。視第一步的結果，若1號元素落在第 k 個位置，第二步就先把 k 號元素「錯排」好， k 號元素的不同排法將導致兩類不同的情況發生：
1、 k 號元素排在第1個位置，留下的 n - 2 個元素在與它們的編號集相等的位置集上「錯排」，有 f(n -2) 種方法；
2、 k 號元素不排第 1 個位置，這時可將第 1 個位置「看成」第 k 個位置(也就是說本來準備放到k位置為元素，可以放到1位置中),於是形成（包括 k 號元素在內的） n - 1 個元素的「錯排」，有 f(n - 1) 種方法。據加法原理，完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 種方法。
根據乘法原理， n 個不同元素的錯排種數
f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。
證畢。
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