紅黑樹筆記紅黑樹的插入操作

紅黑樹的插入操作可以在o(logn)的時間內完成。開始插入節點的時候和二叉查詢樹一樣，只需要最後將插入的節點著成紅色，為了保證紅黑樹的性質，需要通過rb_insertfixup函式來調整該節點，對其重新著色並旋轉。

下面先呼叫rb_insert()函式將乙個節點插入到紅黑樹中，同樣先上偽**

rb-insert(t, z)
1 y ← nil[t]
2 x ← root[t]
3 while x ≠ nil[t]
4 do y ← x
5 if key[z] < key[x]
6 then x ← left[x]
7 else x ← right[x]
8 p[z] ← y
9 if y = nil[t]
10 then root[t] ← z
11 else if key[z] < key[y]
12 then left[y] ← z
13 else right[y] ← z
14 left[z] ← nil[t]
15 right[z] ← nil[t]
16 color[z] ← red
17 rb-insert-fixup(t, z)

接著上c++**並進行**分析

bool rb_insert(int key, int data)
//初始化插入節點,注意插入節點初始的顏色為red
rb_node *insert_node = new rb_node();
insert_node->key = key;
insert_node->data = data;
insert_node->rb_color = red;
insert_node->right = nil;
insert_node->left = nil;
//如果插入的是一顆空樹,設定root就是插入節點
if(insert_p == nil)
else//判斷插入左節點還是右節點
//修復紅黑樹的性質
rb_insertfixup(insert_node);
return true;
}

為了保證紅黑樹的結構性質，需要呼叫rb_insertfixup函式來調整剛剛插入的節點

我們考慮下，如果乙個紅色節點（下文稱用z指向它）被插入到樹中，那麼有哪些紅黑性質可能被破壞呢？只有性質2（根節點是黑色的，由於插入的可能是根節點）以及性質4（紅色節點的子節點一定是黑色節點，其父節點是紅色的），其它都不會被破壞。

如果插入的節點的父節點是黑色的，那麼不需要做任何調整，這紅黑樹是正常的。如果父節點是紅色，或插在樹根的位置，那麼就要進行調整以保證紅黑樹性質。

首先對性質4進行分析，我們知道，插入乙個新的節點，這個節點肯定會被放到樹的底部成為乙個葉節點，那麼這個紅色節點就沒有可能和自己的子節點同色（因為葉節點的子節點是nil節點，都是黑色的），如果性質4被破壞的話，肯定是z指向的節點的父節點是紅色的。因此，為了使分析和解決更加容易和清晰，我們在對樹進行調整以恢復紅黑特性時，始終使得z總是指向相鄰紅色的節點中的子節點（指標z可能會向上公升到樹的中部或根部）。基於這個做法，我們可以知道，如果是性質2被破壞了的話，也就是z指向根節點了，那麼性質4肯定就符合了（因為z的父節點是nil，黑色的），因此對性質2的恢復變得很簡單，只需要被根從紅色變為黑色即可。

現在只需要處理性質4被破壞的問題，如果性質4被破壞了，也就是說，z的父節點是紅色的，那麼，說明，z一定有祖父節點，而且是黑色的（否則插入前原樹就有問題，又或是調整時的方法不正確）。因此可以把問題放到以z的祖父節點為根節點的子樹內進行解決，這樣可以把調整的範圍最小化，而且這也是有可能的：只要不改變這子樹的黑高度，那麼就不會對樹的其它部分產生影響。我們要做的就是在這個子樹範圍內把紅黑性質調整回來。再看子樹的根是否與其父節點同為紅色，是的話，就再次用前面所說的去解決它，一直向上遞迴到紅黑性質被恢復為止。

對性質4的恢復，根據z的父節點是z的祖節點的左子節點還是右子節點，分為兩組對稱的情況，每組有3種情況。下面我們以z的父節點是z祖節點的左子節點為例：

定義叔叔的含義：即祖父節點的另外乙個子節點

情況1：z的叔叔y是紅色的

如上圖所示，在這種情況下，將父、叔節點都著為黑色，再將子樹根節點著為紅色，那麼子樹的黑高度沒有發生改變，而且紅黑性質得得到了調整。此時，再將z指向子樹的根節點，向上遞迴恢復紅黑特性。

情況2：z的叔叔y節點是黑色的，而且z是父節點的左子節點

如上圖，將z的父節點與祖節點進行一次右旋，並把父節點著黑色，原來的祖節點著紅色。這些子樹的紅黑特性得到了恢復，而且子樹的黑高度沒有變化。另外，由於子樹根節點已經是黑色了（這個節點不會出現父子同為紅色的問題了），所以不必再向上遞迴了，此時整個樹的紅黑特性都已經是正確的了。

情況3：z的叔叔y節點是黑色的，而且z是父節點的右子節點

如上圖，將z本身與其父節點進行一次左旋，讓z指向原來的父節點，就可以調整為情況2，而情況2已經得到解決。

由此紅黑樹插入後調整問題已經解決。

偽**：

1 while color[p[z]] = red
2 do if p[z] = left[p[p[z]]]
3 then y ← right[p[p[z]]]
4 if color[y] = red
5 then color[p[z]] ← black // case 1
6 color[y] ← black // case 1
7 color[p[p[z]]] ← red // case 1
8 z ← p[p[z]] // case 1
9 else if z = right[p[z]]
10 then z ← p[z] // case 2
11 left-rotate(t, z) // case 2
12 color[p[z]] ← black // case 3
13 color[p[p[z]]] ← red // case 3
14 right-rotate(t, p[p[z]]) // case 3
15 else (same as then clause
with "right" and "left" exchanged)
16 color[root[t]] ← black

rb_insertfixup c++原始碼：

void rb_insertfixup(rb_node *node)
else if(uncle->rb_color == black)
//情況2，z的叔叔y是黑色的，但z是左孩子
node->parent->rb_color = black;
node->parent->parent->rb_color = red;
rb_rightrotate(node->parent->parent);}}
else
else if (uncle->rb_color == black)
node->parent->rb_color = black;
node->parent->parent->rb_color = red;
rb_leftrotate(node->parent->parent);}}
}root->rb_color = black;
}

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紅黑樹（插入）

紅黑樹插入

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