記錄幾個開平方演算法

2021-06-05 08:46:26 字數 2692 閱讀 8324

整數開平方演算法:

本演算法只採用移位、加減法、判斷和迴圈實現,因為它不需要浮點運算,也不需要乘除運算,因此可以很方便地運用到各種晶元上去。

我們先來看看10進製下是如何手工計算開方的。

先看下面兩個算式,

x = 10*p + q  (1)

公式(1)左右平方之後得:

x^2 = 100*p^2 + 20pq + q^2 (2)

現在假設我們知道x^2和p,希望求出q來,求出了q也就求出了x^2的開方x了。

我們把公式(2)改寫為如下格式:

q = (x^2 - 100*p^2)/(20*p+q) (3)

這個算式左右都有q,因此無法直接計算出q來,因此手工的開方演算法和手工除法演算法一樣有一步需要猜值。

我們來乙個手工計算的例子:計算1234567890的開方

首先我們把這個數兩位兩位一組分開,計算出最高位為3。也就是(3)中的p,最下面一行的334為餘數,也就是公式(3)中的(x^2 - 100*p^2)近似值

3---------------

| 12 34 56 78 90

9---------------

|  3 34

下面我們要找到乙個0-9的數q使它最接近滿足公式(3)。我們先把p乘以20寫在334左邊:

3  q

---------------

| 12 34 56 78 90

9---------------

6q|  3 34

我們看到q為5時(60+q*q)的值最接近334,而且不超過334。於是我們得到:

3  5

---------------

| 12 34 56 78 90

9---------------

65|  3 34

|  3 25

---------------

9 56

接下來就是重複上面的步驟了,這裡就不再囉嗦了。 

這個手工演算法其實和10進製關係不大,因此我們可以很容易的把它改為二進位制,改為二進位制之後,公式(3)就變成了:

q = (x^2 - 4*p^2)/(4*p+q) (4)

我們來看乙個例子,計算100(二進位制1100100)的開方:

1  0  1  0

---------------

| 1 10 01 00

1---------------

100| 0 10 

| 0 00 

---------------

|   10 01

1001|   10 01

---------------

0 00

這裡每一步不再是把p乘以20了,而是把p乘以4,也就是把p右移兩位,而由於q的值只能為0或者1,所以我們只需要判斷餘數(x^2 - 4*p^2)和(4*p+1)的大小關係,如果餘數大於等於(4*p+q)那麼該上乙個1,否則該上乙個0。

下面給出完成的c語言程式,其中root表示p,rem表示每步計算之後的餘數,divisor表示(4*p+1),通過a>>30取a的最高2位,通過a<<=2將計算後的最高2位剔除。其中root的兩次<<1相當於4*p。程式完全是按照手工計算改寫的,應該不難理解。

unsigned short sqrt(unsigned long a)

}return (unsigned short)(root);}

基於二分法的開平方演算法

#include

//求絕對值

#define abs(x) (x)>0?(x):(-(x))

int  main()

double low,high;

if(val  < 1)

else

while(1)

if(tmp > val)

else}}

神秘的0x5f3759df之卡馬克的開平方演算法

float kamake_sqr(float number)     

main()   

輸出:sqr(100)=9.999964

演算法裡面求平方根一般採用的是無限逼近的方法,比如牛頓迭代法,

比如求5的平方根,選乙個猜測值比如2,那麼我們可以這麼算

5/2 = 2.5; 2.5+2/2 = 2.25; 5/2.25 = ***; 2.25+***/2 = ***x ...

這樣反覆迭代下去,結果必定收斂於sqrt(5)

卡馬克牛就牛在選擇了0x5f3759df 這個開始值,使得迭代的時候收斂速度暴漲,對於quake iii所要求的精度10的負三次方,只需要一次迭代就能夠得到結果。

附加乙個小故事:

普渡大學的數學家chris lomont看了以後覺得有趣,決定要研究一下卡馬克弄出來的這個猜測值有什麼奧秘。lomont也是個牛人,在精心研究之後從理論上也推導出乙個最佳猜測值,和卡馬克的數字非常接近, 0x5f37642f。卡馬克真牛,他是外星人嗎?

傳奇並沒有在這裡結束。lomont計算出結果以後非常滿意,於是拿自己計算出的起始值和卡馬克的神秘數字做比賽,看看誰的數字能夠更快更精確的求得平方根。結果是卡馬克贏了... 誰也不知道卡馬克是怎麼找到這個數字的。

最後lomont怒了,採用暴力方法乙個數字乙個數字試過來,終於找到乙個比卡馬克數字要好上那麼一丁點的數字,雖然實際上這兩個數字所產生的結果非常近似,這個暴力得出的數字是0x5f375a86。

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