牛頓法是求解最優問題的一種常用方法。
本文主要在實現使用牛頓法進行開平方操作，**使用python實現。在開平方求解中，更多的可以參考這篇文章。牛頓法是一種最優化求解方法，在迭代過程中求取到最接近解的值，類似的還有梯度下降等等。
這裡主要講解我對該方法的推導，有錯誤之處麻煩指出。
首先針對開根號求解，可用以下式子描述：
x =n
x=\sqrt
x=n
將該式換成：
x 2=
nx^=n
x2=n
移項得x2−
n=0x^ - n = 0
x2−n=0
要求出n的開跟結果，其實就是求出該式的解，對於該式，可以描述為：
x 2−
n=yx^ - n = y
x2−n=y
也就是求出該拋物線與x軸的交點，因為實數範圍內求出的開根號結果大於0，因此只需要計算大於零的一邊。對於該式的求解，牛頓法的迭代速度較快。
圖中，首先給定初始的值，這個值可以隨便給，圖中選的是x=4，如紅色豎線所示。牛頓法的精髓就在於，給定初始值之後，能夠快速下降到目標解。在x=4這一點，獲取該點的切線，如圖紫色斜線所示。求出該點切線與x軸交點即為下次迭代的x值，最後迭代多次之後，如果在誤差範圍內，輸出結果。
令給定乙個初始值x1x_
x1。
在式中：
x 2−
n=yx^ - n = y
x2−n=y
其對應的點為(x1
,x12
−n)(x_,x_^ - n)
(x1,x
12−
n)，該點對應的斜率為 2x1，斜率公式為：
2 x=
y2x = y
2x=y
斜率公式可通過對x求導得出。將點和斜率帶入斜線公式：
a x+
b=yax+b=y
ax+b=y
求得下乙個迭代的點為：
x 2=
−ba=
n2x1
+x12
x_=\frac=\frac}+\frac}
x2=a−
b=2
x1n
+2x
1迭代多次，知道求出xn−
xn−1
<
δx_-x_
xn−xn−1
\delta
δ為自定的誤差範圍。
**如下：
def squareroot(n):
tx = 100
lstx = tx
for i in range(10):
tx = (n / tx / 2 + tx / 2)
if (abs(tx - lstx) < 0.0000001):
break
lstx = tx
return tx
可能是因為python的原因，結果雖然正確，但是時間上時系統自帶方法的兩倍。但是就算如此，該方法也比二分法好。
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