牛頓迭代法（newton's method）又稱為牛頓-拉夫遜方法（newton-raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函式f(x)的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根。另外該方法廣泛用於計算機程式設計中。
設r是f(x) = 0的根，選取x0作為r初始近似值，過點（x0,f(x0)）做曲線y = f(x)的切線l，l的方程為y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出l與x軸交點的橫座標 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，稱x1為r的一次近似值。
過點（x1,f(x1)）做曲線y = f(x)的切線，並求該切線與x軸交點的橫座標 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，稱x2為r的二次近似值。重複以上過程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，稱為r的n+1次近似值，上式稱為牛頓迭代公式。
根據牛頓迭代的原理，可以得到以下的計算sqrt（n）的迭代公式：x(n+1)=[x(n)+p/xn]/2。詳細解釋見下文。
一般性的程式設計方法如下：
double sqr(double n)
return k;
}
過程如下：
首先隨便猜乙個近似值x，然後不斷令x等於x和a/x的平均數，迭代個六七次後x的值就已經相當精確了。
例如，我想求根號2等於多少。假如我猜測的結果為4，雖然錯的離譜，但你可以看到使用牛頓迭代法後這個值很快就趨近於根號2了：
( 4 + 2/ 4 ) / 2 = 2.25
( 2.25 + 2/ 2.25 ) / 2 = 1.56944..
( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..
下面用c語言實現一遍：
#include "stdio.h"
#include "math.h"
int main(void)
printf("平方根為%f\n",y);
return 0;
}
請輸入乙個需要求其平方根的數：2
y=1.500000
y=1.416667
y=1.414216
平方根為1.414216
請輸入乙個需要求其平方根的數：3
y=2.000000
y=1.750000
y=1.732143
y=1.732051
平方根為1.732051
牛頓法求平方根步驟
牛頓法步驟 1.以y x 2 x 2 函式為例，先任意選取一點a，在曲線上做a點的切線，交x軸與b點，在b做x軸的垂線，交曲線於c點。2.在曲線上做c點的切線，交x軸與d點，在d點做x軸的垂線，交曲線於e點。我們可以看到d點比b點更加接近方程 x 2 x 2 0的根 x 2 3.在曲線上做e點的切線...
牛頓迭代法求平方根
sqrt 方法 public static double sqrt double c 什麼是牛頓迭代法 多數方程不存在求根公式，牛頓提出了一種用迭代來求方程近似根的方法。思路就是不斷取切線，用線性方程的根逼近非線性方程f x 0的根x 過程簡介 過點 xk,f xk 作函式的切線，切線方程是 切線與...
牛頓迭代法 求平方根
牛頓迭代法 求出根號a的近似值 首先隨便猜乙個近似值x，然後不斷令x等於x和a x的平均數，迭代個六七次後x的值就已經相當精確了。例如，我想求根號2等於多少。假如我猜測的結果為4，雖然錯的離譜，但你可以看到使用牛頓迭代法後這個值很快就趨近於根號2了 這種演算法的原理很簡單，我們僅僅是不斷用 x,f ...