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網路流isap演算法的簡單介紹
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這幾天由於種種原因經常接觸到網路流的題目，這一型別的題給人的感覺，就是要非常使勁的yy才能出來點比較正常的模型。尤其是看了amber最小割應用的文章，裡面的題目思路真是充滿了綿綿不絕的yd思想。然而比賽中，當你yd到了這一層後，您不得不花比較多的時間去糾結於大量細節的實現，而冗長的**難免會使敲錯版後的除錯顯得異常悲傷，因此一些巧妙簡短高效的網路流演算法在此時便顯得猶為重要了。本文力求以最簡短的描述，對比較流行的網路流演算法作一定的總結，並借之向讀者強烈推薦一種效率與程式設計複雜度相適應的演算法。
眾所周知，在網路流的世界裡，存在2類截然不同的求解思想，就是比較著名的預流推進與增廣路，兩者都需要反向邊的小技巧。
其中預流推進的演算法思想是以邊為單元進行推流操作。具體流程如下:置初始點鄰接邊滿流並用一次反向bfs對每個結點計算反向距離標號，定義除匯點外存量大於出量的結點為活動結點，每次對活動結點按允許邊（u->v:d[u]=d[v]+1）進行推流操作，直到無法推流或者該點存量為0，若u點此時仍為活動結點，則進行重標號，使之等於原圖中進行推操作後的鄰接結點的最小標號+1，並將u點入隊。當隊列為空時，演算法結束，只有s點和t點存量非0，網路中各頂點無存量，無法找到增廣路繼續增廣，則t點存量為最大流。
而增廣路的思想在於每次從源點搜尋出一條前往匯點的增廣路，並改變路上的邊權，直到無法再進行增廣，此時匯點的增廣量即為最大流。兩者最後的理論基礎依然是增廣路定理，而在理論複雜度上預流推進要顯得比較優秀。其中的hlpp高標預流推進的理論複雜度已經達到了另人髮指的o（sqrt(m)*n*n），但是其程式設計複雜度也是同樣的令人髮指- -
於是我們能否在程式設計複雜度和演算法複雜度上找到乙個平衡呢，答案是肯定的。我們使用增廣路的思想，而且必須進行優化。因為原始的增廣路演算法（例如ek）是非常悲劇的。於是有人注意到了預流推進中的標號法，在增廣路演算法中引入允許弧概念，每次反搜殘留網路得到結點標號，在正向增廣中利用遞迴進行連續增廣，於是產生了基於分層圖的dinic演算法。一些人更不滿足於常規dinic所帶來的提公升，進而加入了多路分流增廣的概念，即對同一頂點的流量，分多路同時推進，再加上比較複雜的手工遞迴，使得dinic已經滿足大部分題目的需要。
然而這樣做就是增廣路演算法優化的極限麼？答案永遠是不。人們在dinic中只模擬了預流推進的標號技術，而重標號操作卻沒有發揮得淋漓盡致。於是人們在dinic的基礎上重新引入了重標號的概念，使得演算法無須在每次增廣後再進行bfs每個頂點進行距離標號，這種主動標號技術使得修正後演算法的速度有了不少提高。但這點提高是不足稱道的，人們又發現當某個標號的值沒有對應的頂點後，即增廣路被截斷了，於是演算法便可以提前結束，這種啟發式的優化稱為gap優化。最後人們結合了連續增廣，分層圖，多路增廣，gap優化，主動標號等窮凶極惡的優化，更甚者在此之上**個手動遞迴，於是產生了增廣路演算法的高效演算法–isap演算法。
雖然isap演算法的理論複雜度仍然不可超越高標預流推進，但其程式設計複雜度已經簡化到髮指，如此優化，加上不遜於dinic的速率（在效率上手工dinic有時甚至不如遞迴isap），我們沒有不選擇它的理由。
因此本**烈推薦isap作為網路流首選演算法。
其實現方法見下文，除去例行的添邊操作，不超過50行的**，何樂而不為之，以下實現仍有優化的餘地（在計算初始標號時，為減小**量直接忽略之，其複雜度不變，但實現後效率有5%左右的下降，如果樂意修正的話可以進行改良，當然不修正不影響演算法正確性）。
網路流 最小費用最大流
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