動態規劃1

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動態規劃是一種在數學和

電腦科學

中使用的，用於求解包含

重疊子問題

的最優化

問題的方法。其基本思想是，將原問題分解為相似的子問題，在求解的過程中通過子問題的解求出原問題的解。動態規劃的思想是多種演算法的基礎，被廣泛應用於電腦科學和工程領域。比較著名的應用例項有：求解

最短路徑

問題，揹包問題

，專案管理

，網路流

優化等。

動態規劃在查詢有很多重疊子問題的情況的最優解時有效。它將問題重新組合成子問題。為了避免多次解決這些子問題，它們的結果都逐漸被計算並被儲存，從簡單的問題直到整個問題都被解決。因此，動態規劃儲存遞迴時的結果，因而不會在解決同樣的問題時花費時間。

動態規劃只能應用於有最優子結構的問題。最優子結構的意思是區域性最優解能決定全域性最優解(對有些問題這個要求並不能完全滿足，故有時需要引入一定的近似)。簡單地說，問題能夠分解成子問題來解決。

最優子結構性質。如果問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的，我們就稱該問題具有最優子結構性質（即滿足最優化原理）。最優子結構性質為動態規劃演算法解決問題提供了重要線索。

子問題重疊性質。子問題重疊性質是指在用遞迴演算法自頂向下對問題進行求解時，每次產生的子問題並不總是新問題，有些子問題會被重複計算多次。動態規劃演算法正是利用了這種子問題的重疊性質，對每乙個子問題只計算一次，然後將其計算結果儲存在乙個**中，當再次需要計算已經計算過的子問題時，只是在**中簡單地檢視一下結果，從而獲得較高的效率。

計算斐波那契數列(fibonacci polynomial)的乙個最基礎的演算法是，直接按照定義計算：

functionfib(n)ifn = 0orn = 1return1returnfib(n − 1) + fib(n − 2)

當n=5時，fib(5)的計算過程如下:

fib(5)

fib(4) + fib(3)

(fib(3) + fib(2)) + (fib(2) + fib(1))

((fib(2) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0))) + ((fib(1) + fib(0)) + fib(1))

(((fib(1) + fib(0)) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0))) + ((fib(1) + fib(0)) + fib(1))

由上面可以看出，這種演算法對於相似的子問題進行了重複的計算，因此不是一種高效的演算法。實際上，該演算法的運算時間是指數級增長的。改進的方法是，我們可以通過儲存已經算出的子問題的解來避免重複計算：

array map [0...n] = 
fib( n )
if ( map m does not contain key n)
m[n] := fib(n − 1) + fib(n − 2)
return m[n]

將前n個已經算出的前n個數儲存在陣列map中，這樣在後面的計算中可以直接易用前面的結果，從而避免了重複計算。演算法的運算時間變為o(n)

揹包問題作為np完全問題，暫時不存在多項式時間演算法。動態規劃屬於揹包問題求解最優解的可行方法之一。此外，求解揹包問題最優解還有搜尋法等，近似解還有貪心法等，分數揹包問題有最優貪心解等。揹包問題具有最優子結構和重疊子問題。動態規劃一般用於求解揹包問題中的整數揹包問題（即每種物品所選的個數必須是整數）。解整數揹包問題：設有n件物品，每件價值記為pi，每件體積記為vi，用乙個最大容積為vmax的揹包，求裝入物品的最大價值。用乙個陣列f[i,j]表示取i件商品填充乙個容積為j的揹包的最大價值，顯然問題的解就是f[n,vmax].

f[i,j]=

f[i-1,j] 
0

對於特例01揹包問題（即每件物品最多放1件，否則不放入）的問題，狀態轉移方程：

f[i,j]=

f[i-1,j] 
0

參考pascal**

for i:=
1to n do
for j:=totv downto v[i]
do f[j]
:=max(f[j]
,f[j-v[i]
]+p[i]
);writeln
(f[totv]
);

動態規劃1

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