還是關於矩陣的碎碎念，接上篇：
思考：矩陣及變換，以及矩陣在directx和opengl中的運用問題：左乘/右乘,行優先/列優先,...
5。矩陣的級聯順序與座標系的關係：
1). 變換的時候，座標系的選取是必需的
舉個例子：伸出左手，手掌水平，掌心向上，大拇指向左，其餘四指向前。此時選定物體的區域性座標系（cl(ol,xl,yl,zl)）為：掌心為原點(ol)，x軸(xl)指向四指指向，z(zl)軸指向大拇指指向，y軸(yl)指向掌心向上。全域性座標系（cg(og,xg,yg,zg)）選定為和本地座標系重合。那麼，移動你的左手，區域性座標系就會隨手而動。全域性座標系還是原先的方位。為什麼選定座標系對於變換重要？因為相對於哪種座標系做變換得出的結果是不一定相同的。
還是上面那個例子：現在開始做變換，給你個指令：沿x軸旋轉手掌90度使得掌心向右，然後手掌沿y軸向+y方向移動10厘公尺。
你做完後，得出的結果可能有3種：
1. 手的位置比原先高了10厘公尺，這部分人居多。
2. 手的位置比原先靠右10厘公尺，這部分人居少。
3. 還有部分數人傻在那，變換不來，這部分人其實不傻。
其實這個變換指令沒有指定參考座標系，是變換不出來的。1類的是自己選了全域性座標系，2類是選了區域性座標系，3類的沒自己選。
所以，變換的時候，座標系的選取是必需的。
2). 級聯順序與座標系選取的關係
回到矩陣變換，一般我們說的對物體x進行m1變換，即x』= x*m1 (使用column matrix約定)，隱含了選取全域性座標系的約定。單一變換的沒有級聯順序的問題。如果再進行乙個m2變換，此時，x』= x*m1*m2 還是x』= x*m2*m1呢？我們可能都知道是x』= x*m1*m2。顯然嘛，先做的變換先乘，但深層的原因是什麼呢？答案是隱含的全域性座標系的選定，如果選定的是區域性座標系，那麼x』= x*m2』*m1』。後面乙個變換反而要先進行。不信，看例子：
還是手掌例子，先旋轉後平移, 給你個指令：沿xg軸旋轉手掌90度使得掌心向右，然後手掌沿yg軸向+yg方向移動10厘公尺。
這下清楚不過了，完成後手掌比原先高了10厘公尺。此時變換公式：x』= x*r(xg)*t(yg)
手掌沿yl軸向+yl方向移動10厘公尺，然後沿xl軸旋轉手掌90度使得掌心向右。
看看完成後的結果，手是不是和上面的方位一樣？此時變換公式：x』= x*t(yl)*r(xl)
正序級聯是相對於全域性座標系，逆序級聯相對於區域性座標系，殊途同歸。下次有變換矩陣需要級聯的時候，先看看變換的矩陣是相對於全域性還是區域性的座標系。
一般規律：假定對物體x施加m1變換和m2變換，兩個變換矩陣均為相對於全域性座標系。有：
x』 = x*m1(g)*m2(g)
可以看作是將
x先經過
m1(g)
變換，再進行
m2(g)
變換，得到x』
由矩陣的結合律，上面等式等價於:
x』 = x*m2(g)*(m2(g)-1*m1(g)*m2(g))
（m2(g)-1
為m2(g)
的逆矩陣）
所以，這個過程也可以這麼看，先對x進行
m2(g)(
也即m2(l))
變換（m2(g)
為相對於全域性座標系，但此時全域性和區域性座標系的重合，所以
m2(g)=m2(l)
），再對x進行
m2(g)-1*m1(g)*m2(g)變換(
也即m1(l)變換)
，這個變換實際上相當於先將物體退回到原方位（此刻區域性座標系退回到原始方位，也就是全域性座標系方位）進行
m1(g)
變換後，再進行
m2(g)
變換回來。
m2(g)-1*m1(g)*m2(g)
整體的效果就是
相對於此時的區域性座標系的進行
m1(l)
變換。故：
x』 = x*m2(l)*m1(l)
即，如果將變換認為是相對於區域性座標系而進行的，那麼矩陣級聯順序正好相反。
（注：上面推導有個這樣的前提：即初始變換時，選定區域性座標系和全域性座標系重合。如果區域性座標系是一般選取，即區域性座標系相對於全域性座標系的變換m(l/g) != identity呢，答案是結論一樣。因為m(l/g)可以認作是對於物體的變換。將x換成x(new)=x*m(l/g)而已。）
3). 如何選取，如何級聯
碰到的場景：
l 人手的運動
手有很多關節，每個關節的一端可以繞著關節處運動，關節本身也可以運動，要表達手指尖相對於人體的運動，使用相對於區域性座標系（關節）的變換比選取全域性座標系（人體）的變換要簡單清晰得多。
比如：乙個從手臂下垂到做出向上抬手手的動作之間，現在用矩陣變換來表達手掌的變換(x->x』)。
如果你選定區域性座標系（各個關節）做變換，那麼其表達就是：
上手臂繞肩關節旋轉90度(m1(肩))，下手臂繞肘關節轉45度(m2(肘))，手掌繞踝關節轉30度(m3(踝)),那麼：
x』 = x*m3(踝)*m2(肘)*m1(肩)
（注意和x』 = x*m1(肩)*m2(肘)*m3(踝)的不同）
如果你選定全域性座標系（人體/肩關節）做變換，那麼其表達就是：
上手臂繞肩關節旋轉90度(m1(肩))，下手臂繞肩關節(m2(肩)), 手掌繞肩關節(m3(肩))。。繞不過來了吧（m2(肩), m3(肩)很難表示出來）
x』 = x*m1(肩)*m2(肩)*m3(肩)
l 矩陣分解與 級聯順序
|r 0|
|t 1|
= r*t (先進行旋轉變換，後進行平移變換， 基於global座標系)
= t*r (先進行平移變換，後進行旋轉變換， 基於local座標系)
= r*t' (先進行旋轉變換，後進行平移變換， 基於local座標系, t'= r-1*t*r)
= t*r' (先進行平移變換，後進行旋轉變換， 基於global座標系, r' = t-1*r*t)
4). 結論
注意矩陣級聯順序和座標系選取的關係。在整體/部分相對運動較多的地方，選取區域性座標系描述變換。
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