演算法設計 矩陣乘法

研究生課程系列文章參見索引《在信科的那些課》

設a1,a2,…,an為矩陣序列，ai為pi-1×pi階矩陣，i = 1,2,…,n. 確定乘法順序使得元素相乘的總次數最少.

輸入：向量p =

例項：

p = <10, 100, 5, 50>  a1: 10 × 100, a2: 100 × 5, a3: 5 × 50

乘法次序：

(a1 a2)a3: 10 × 100 × 5 + 10 ×5 × 50 = 7500

a1(a2 a3): 10 × 100 × 50 + 100 × 5 × 50 = 75000

先將矩陣鏈加括號分為兩部分，即p=a1*a2*...*an=（a1*a2...*ak）*（ak+1*...an），則有f(n)=f(1)*f(n-1)+f(2)*f(n-2)+...+f(n-1)*f(1)種方法。f(n)為乙個

catalan數，所以一般的方法要計算

輸入p=< p0, p1, …, pn>，ai..j 表示乘積 aiai+1…aj 的結果，其最後一次相乘是：

m[i,j] 表示得到ai..j的最少的相乘次數。

遞推方程：

為了確定加括號的次序，設計表s[i,j],記錄求得最優時最一位置。

由上面的遞迴公式，很容易得到演算法的遞迴實現：

const int n=5;

int m[n][n]; //m[i][j]儲存ai到aj的最小乘法次數
int s[n][n];//s[i][j]儲存ai到aj之間加括號的位置
int recurmatrixchain(int p,int i,int j)
{ m[i][j]=100000;
s[i][j]=i;
if(i==j)
m[i][j]=0;
else{
for(int k=i;k複雜性滿足遞推關係：
由數學歸納法可得：
可見遞迴實現的複雜性雖然較一般演算法有改進，但還是較高。分析原因，主要是子問題重複程度高。如下圖所示：
1..4表示計算ai..j中i=1,j=4的子問題，其子問題包括a1..1，而a1..2，a1..3中都包括子問題a1..1，所以很多子問題被重複計算了多次。
於是，我們想到用自底向上的迭代實現。
迭代實現主要思想是子問題由小到大，每個子問題只計算一次，並且把結果儲存起來，後來用到這個子問題時，直接代入。
void matrixchain(int p,int n)
{ int r,i,j,k,t;
for(i=0;i行7,9,16的迴圈為o(n)，外層迴圈為o(1)，所以演算法複雜度w(n)=o(n^3)
子問題由小到大的計算過程如下圖所示：
再寫乙個列印結果，以及列印優化函式備忘錄m和標記函式的s的函式：
void printmatrixchain(int s[n],int i,int j)
{ if (i==j) 
{ cout《的簡單例項，執行上述**：
*注意：上述**與解釋中的下標不同，即**中s[i-1][j-1]表示實際中的s[i,j]

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