一、概述
以兩個矩陣相乘為例，a1*a2，a1和a2為兩個矩陣，假設a1的行列數是p*q，a2的行列數是q*r。注意這裡由於是a1乘以a2，所以a1的列數要等於a2的行數，否則無法做矩陣乘法，滿足上述條件的矩陣，我們稱之為「相容」的。那麼對於a1*a2而言，我們需要分別執行p*r次對應a1的行元素乘以a2的列元素，根據線性代數知識，不難得出我們一共需要執行p*q*r次乘法。
對於兩個矩陣相乘，一旦矩陣的大小確定下來了，那麼所需執行的乘法次數就確定下來了。那麼對於兩個以上的矩陣呢？是不是也是這樣呢。實際上，對於多個矩陣相乘，乘法執行的次數與「劃分」有關。例如：
以矩陣鏈為例，假設三個矩陣的規模分別為10x100，100x5和5x50。
①以((a1*a2)*a3)方式劃分，乘法執行次數為：10*100*5+10*5*50=5000+2500=7500次
②以(a1*(a2*a3))方式劃分，乘法執行次數為：100*5*50+10*100*50=25000+50000=75000次
我們可以發現，對於同樣的矩陣鏈相乘而言，不同的劃分，乘法次數居然相差10倍。
二、如何獲得最佳的矩陣鏈乘法劃分和最少次數
其實這裡與「鋼管切割」有相似之處，在鋼管切割問題中，我們使用乙個一維陣列來儲存最佳收入，另乙個一維陣列來儲存切割的劃分處。
而這裡，我們也可以將矩陣鏈看成一根要分割的「鋼管」，只是這裡記錄的兩個陣列需要是二維的，因為我們需要記錄的不僅是從**「斷開」，還需要記錄"每一段"到**截止。如下圖：
使用乙個長度為n+1的一維陣列p來記錄每個矩陣的規模，其中n為矩陣下標i的範圍1~n，例如對於矩陣ai而言，它的規模應該是p[i-1]到p[i]。由於i是從1到n取值，所以陣列p的下標是從0到n。
用於儲存最少乘法執行次數和最佳分段方式的結構是兩個二維陣列m和s，都是從1~n取值。m[i][j]記錄矩陣鏈的最少乘法執行次數，而s[i][j]則記錄 最優質m[i][j]的分割點k。
需要注意的一點是當i=j時，m[i][j]=m[i][i]=0，因為乙個矩陣不需要任何乘法。
假設矩陣鏈從ai到aj，有j-i+1個矩陣，我們從k處分開，將矩陣鏈分為ai~ak和ak+1到aj兩塊，那麼我們可以比較容易的給出m[i][j]從k處分隔的公式：
m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]；
在一組確定的i和j值的情況下，要使m[i][j]的值最小，我們只要在所有的k取值中，i<=k
假設l為矩陣鏈的長度，那麼l=j-i+1。當l=1時，只有乙個矩陣，不需要計算。那麼我們可以從l=2到n進行迴圈，對每個合理的i和j值的組合，遍歷所有k值對應的m[i][j]值，將最小的乙個記錄下來，儲存到m[i][j]中，並將對應的k儲存到s[i][j]中，就得到了我們想要的結果。
根據上面的分析，不難給出過程的**，注意這裡也是使用的自底向上的方法，參看「鋼管切割」：
//ai矩陣的行列分別是p[i-1]和p[i],1<=i<=n /*
* 求解最少次數的乘法括號劃分方案
*/void matrix_chain(int* p, int n, int** m, int** s)
int l = 0; //l為矩陣鏈的長度
//m[i][j]的第乙個引數
int i = 0;
//m[i][j]的第二個引數
int j = 0;
int tmp = 0;
//②以長度l為劃分，l從2開始到n
for (l = 2; l <= n; l++)
}} }
}
經過執行上面的**，我們就準備好了s[i][j]，其中包含最佳分割資訊。我們可以使用一種類似於中序遍歷的方法來輸出劃分方式，比如對和他們對應的下標陣列p而言。
void print_optimal_parens(int** s, int i, int j) else
}
((a1a2)((a3a4)a5))
最少乘法次數為：330次
備註：動態規劃是一種將問題例項分解為更小的、相似的子問題，並儲存子問題的解而避免計算重複的子問題，以解決最優化問題的演算法策略。
備忘錄法是動態規劃方法的變形。與動態規劃演算法不同的是，備忘錄方法的遞迴方式是自頂向下的，而動態規劃演算法則是自底向上的。
矩陣鏈乘法問題
問題描述 詳見演算法導論p197 p198 已知 給定n個矩陣構成的乙個矩陣鏈 a1,a2,an 矩陣ai的維數為pi 1 pi 求 決定該矩陣鏈的乘法結合順序 即加括號 使得矩陣鏈乘法的執行時間最短 幾個前提概念 首先判斷是否具有最優子結構假設ai.aj的矩陣鏈乘法的最優解是在ak與ak 1之間分...
演算法導論 矩陣鏈乘法
問題描述 給定有n個連乘矩陣的維數，要求計算其採用最優計算次序時所用的乘法次數，即所要求計算的乘法次數最少。例如，給定三個連乘矩陣的維數分別是10 100，100 5和5 50，採用 a1a2 a3，乘法次數為10 100 5 10 5 50 7500次，而採用a1 a2a3 乘法次數為100 5 ...
Python演算法 矩陣鏈乘法
題目解析參考 動態規劃 矩陣鏈乘法 矩陣乘法是乙個滿足結合律的運算。顯然，對於矩陣a b c來說，ab c 與 a bc 是等價的，我們可以根據自己的心情選擇任意的運算順序，總之，結果都是一樣的。糟糕的是，對計算機來說可不是這麼回事，若我們假定矩陣 a 10,20 b 20,30 c 30,40 那...