空間向量的應用——例舉立體幾何問題的解法
²考綱要求
1、空間向量的概念及其運算
將平面向量的有關概念及其運算推廣到空間，並理解其意義；
掌握空間向量的線性運算和數量積；領悟模擬和推廣的數學思維方法。
2、空間向量及其與運算的座標表示
會用座標表示空間向量，會將空間向量的運算轉化為座標運算。
3、空間直線的方向向量和平面的法向量
會將線面的平行及其垂直關係轉化為向量關係；
會用向量方法證明簡單的空間圖形中的直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直，以及解決一些簡單的幾何證明問題
4、空間向量在度量問題中的應用
會用向量方法進行有關角的度量計算和有關距離的計算。
有關角：
異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角。
有關距離：點到平面的距離、異面直線之間的距離。 ²
知識梳理
一、空間向量的概念及其座標表示（參閱：理科課本p．39～47）
1、空間向量的有關概念
空間向量的模、零向量、單位向量、乙個向量的負向量、向量的夾角等概念，皆等同於平面向量的相應概念；空間向量運算（加法、減法、數乘和數量積）以及其運算律，都與平面向量的相應概念、運算及其運算律具有相同的意義。
平面向量分解定理的空間推廣（空間向量的基是由三個互不平行向量組成）。
2、空間向量的座標表示
空間直角座標系、空間位置向量和空間向量的座標，以及空間向量運算的座標表示；
空間位置中的定比分點公式、距離公式、向量的夾角公式。
二、空間直線的方向向量和平面的法向量（參閱：理科課本p．48～52）
1．直線的乙個方向向量：平行與空間直線
的非零向量．
2．平面的乙個法向量：垂直與平面
的非零空間向量．
3．直線、平面的三個基礎命題：
（1）兩條直線平行或重合的充要條件是它們的方向向量互相平行；
（2）一條直線與乙個平面平行或在乙個平面內的充要條件是這條直線的方向向量垂直與該平面的法向量；
（3）兩個平面平行或重合的充要條件是它們的法向量互相平行．
三、課本練習：p．41～52 練習3.1，3.2(1)、(2)、(3)，3.3(1)、(2)、(3)。
四、空間向量在度量問題中的應用（參閱：理科課本p．53～57）
1、求異面直線的夾角
設、分別是異面直線
、的方向向量，又
與的夾角，則。
特殊情形：
。例1 如圖，正方體中，
求異面直線
與所成角的大小。
例2 如圖，在正三稜柱
中，分別是稜
、的中點，
，求異面直線
與所成角的大小。
2、求直線與平面所成的角
直線與平面
所成的角為
，為直線
的乙個方向向量，是平面
的法向量（如圖），則
特殊情形：當，則直線
與平面垂直。
例3 如圖，在三稜椎
中，平面，，
分別是稜
的中點，
，，求直線
與平面所成角的大小
3、求二面角的大小
如圖，設
是兩相交平面
、所成的平面角，
是平面的乙個法向量，
是平面的乙個法向量，則法向量夾角為，即。
特殊情形：當
時，平面
垂直平面。
例4 如圖，在正三稜柱
中，分別是稜
、的中點，
，求二面角
的大小。
a b
c d
*4、求異面直線的距離
（只要求在已知異面直線公垂線的條件下）
如圖，是異面直線
與的距離，
是直線與
的乙個法向量，
分別是直線
、上的點，顯然又，則
．
例5 如圖，在正三稜柱
中，分別是稜
、的中點，
，求異面直線
與的距離。
5、求點到平面的距離
如圖，點
到平面的距離 而
，則 （是平面的乙個法向量）
例6 如圖，在三稜椎
中，平面，，
分別是稜
的中點，
，，求點
到平面的距離。
利用這個公式，不僅可解決點到平面的距離，還可推廣到直線與平面平行時的距離以及平行的兩個平面之間的距離問題：
（1）若
平面（其中
是直線的方向向量，
是平面的法向量）；
（2）平面平面(其中
、為平面
的法向量)
6、空間向量的綜合應用
例7 在三稜錐
中，是邊長為4 的等邊三角形，平面平面，
為的中點
（1）證明：；
（2）求二面角
的平面角的正弦值；
（3）求點
到平面的距離。
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