資料結構之堆

原帖**：

對於堆的資料結構的介紹，在網上搜了下，具體講的不是很多。發現比較好的一篇介紹堆的部落格是在此感謝他。

通過對上面那篇部落格的學習，然後自己也去翻了下《演算法導論》裡面關於堆排序(heapsort)的介紹。這樣就對堆有了更加深刻的認識，在此，我結合自己的一點點理解，主要還是基於上面那篇部落格的內容（主要也是《演算法導論》裡的內容）,也把他裡面程式的一些錯誤改正，我把這篇部落格寫了出來，以加深對堆的認識，並供自己日後溫習。後面我還要練習poj上幾天關於堆的題目，鏈結會在後面給出。

1.堆堆資料結構是一種陣列物件，它可以被視為一科完全二叉樹結構。它的特點是父節點的值大於（小於）兩個子節點的值（分別稱為大頂堆和小頂堆）。它常用於管理演算法執行過程中的資訊，應用場景包括堆排序，優先佇列等。

2. 堆的基本操作

堆是一棵完全二叉樹，高度為o（lg n），其基本操作至多與樹的高度成正比。在介紹堆的基本操作之前，先介紹幾個基本術語：

a：用於表示堆的陣列，下標從1開始，一直到n

parent(t)：節點t的父節點，即floor(t/2)

right(t)：節點t的左孩子節點，即:2*t

left(t)：節點t的右孩子節點，即:2*t+1

heap_size(a)：堆a當前的元素數目

3.保持堆的性質 heapify(a,n,t)

該操作主要用於維持堆的基本性質。假定以right(t)和left(t)為根的子樹都已經是堆，然後調整以t為根的子樹，使之成為堆。

void heapify(int a,int
i)}

4.建堆 buildheap(a,n)

操作主要是將陣列a轉化成乙個大頂堆。思想是，先找到堆的最後乙個非葉子節點（即為第n/2個節點），然後從該節點開始，從後往前逐個調整每個子樹，使之稱為堆，最終整個陣列便是乙個堆。子陣列a[(n/2)+1..n]中的元素都是樹中的葉子，因此都可以看作是只含有乙個元素的堆。具體的過程我覺得看《演算法導論》裡面的圖的話理解應該很簡單，我找不到那圖。

void buildheap(int
a,)

5.堆排序演算法

先用buildheapo將陣列a[1..n]構造成乙個最大堆。因為陣列中最大元素在根a[1],則可以通過把它與a[n]交換來達到最終正確的位置。

void heapsort(int
a)}

6.優先佇列 priority queue

優先佇列是一種用來維護由一組元素構成的集合s的資料機構。相信大家對它都有所了解。雖然說c++裡面有了priority_queue,但我們還是要了解它的一些基本構成及實現的**。

getmax:

該操作主要是獲取堆中最大的元素，同時保持堆的基本性質。堆的最大元素即為第乙個元素，將其儲存下來，同時將最後乙個元素放到a[1]位置，之後從上往下調整a，使之成為乙個堆。

void getmaximum(int
a)

insert:

向堆中新增乙個元素t，同時保持堆的性質。演算法思想是，將t放到a的最後，然後從該元素開始，自下向上調整，直至a成為乙個大頂堆。

void insert(int a, int
i) 
a[p]=i;
}

總結。

堆的最常見應用是堆排序，時間複雜度為o(n lg n)。如果是從小到大排序，用小頂堆；從大到小排序，用大頂堆。雖然堆排序是乙個很漂亮的演算法，但實際中，快排的乙個好的實現往往優於堆排序。儘管這樣，對資料結構還是有著很大的用處，比如說優先佇列。

例子：在o(n lg k)時間內，將k個排序表合併成乙個排序表，n為所有有序表中元素個數。

【解析】取前100 萬個整數，構造成了一棵陣列方式儲存的具有小頂堆，然後接著依次取下乙個整數，如果它大於最小元素亦即堆頂元素，則將其賦予堆頂元素，然後用heapify調整整個堆，如此下去，則最後留在堆中的100萬個整數即為所求 100萬個數字。該方法可大大節約記憶體。

例子：乙個檔案中包含了1億個隨機整數，如何快速的找到最大(小)的100萬個數字?（時間複雜度：o（n lg k））

堆是一種非常基礎但很實用的資料結構，很多複雜演算法或者資料結構的基礎就是堆，因而，了解和掌握堆這種資料結構顯得尤為重要。

二.基於堆的k路合併問題.

題：請給出一下時間為o(n*lgk),用來將 k 個已排序鍊錶合併為乙個排序鍊錶的演算法.此處,n 次所有輸入鍊錶中元素的總數.

答：新建乙個鍊錶，再申請乙個大小為 k 的陣列a,首先把　k 個已排序鍊錶的第乙個元素壓入 a 中，將 a 建成乙個最小堆，花費o(k) 的時間．然後將堆 a 的第乙個元素 min（也就是最小的那個）放入鍊錶中．再將min->nextnode 放在min的位置．再花o(lgk)呼叫heapify 方法將 a 重新建成乙個最小堆．然後又將第乙個元素 min 放入鍊錶......重複進行就可將 k 個已排序鍊錶合併．（當最後剩餘不到 k 個節點時情況會有點變化，但很容易解決）．顯然，這樣處理的時間複雜為 o(n*lgk);

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