假設有n堆石子，每堆石子的個數分別如下
a1, a2, a3, ... an
定義nim-sum為a1^a2^a3...an
可以證明
1. 若a1^a2^a3...an != 0
則經過一次合法的移動之後必定可變成
a1^a2....an = 0
此時留下的局面為必勝。
2. 若a1^a2^a3...an = 0
則經過一次合法的移動，局面必定成為
a1^a2^a3...an != 0
3. 只要在某回合中留下a1,a2...an
使a1^a2^a3...an = 0，此時局面必勝
證明1：假設a1^a2^a3...an != 0 = k
則檢視k的最高位，假設是在第x位上，則此位上有a1x^a2x^a3x....anx = 1 (a1x表示a1寫成二進位制，取a1的第x位)
必然可以尋找到乙個ai（至少乙個），其aix = 1
此時有ai^k < ai
改變ai這堆石子使其成為ai^k
列出式子
a1^a2^a3..^ai^...an = k
則有a1^a2^a3..^(ai^k)^...an = a1^a2^a3..^ai^...an^k = (a1^a2^a3..^ai^...an)^k = k^k = 0 即得證
證明2：使用反證法，
假設移動了ai堆石頭使其成為ai'
有a1^a2^a3..ai..an = 0
即(a1^a2...a(i-1)^a(i+1)...an)^ai = 0 可得
等式 a1^a2...a(i-1)^a(i+1)...an = ai
假設a1^a2^a3...ai'....an = 0
根據前面得出的等式a1^a2...a(i-1)^a(i+1)...an = ai
即得 ai^ai' = 0
可推出ai = ai'
此等式必然不成立，原式得證
證明3：假設遊戲開始，p1 p2兩名玩家，初始nim-sum != 0，使用必勝策略，p1始終能得到nim-sum != 0 的局面，而遊戲過程石頭始終在減少，檢視最終局面：只有一行，此行可能有若干個石頭，而遊戲進行到最後必然會得出這個局面，這個局面是乙個nim-sum != 0的局面，p1肯定能夠得到這個局面，所以遊戲必勝。
這是我用pygame寫的nim遊戲，實現的比較簡單。
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