SG函式求解 NIM遊戲先手必勝必敗問題

nim遊戲：

兩人玩家，給定狀態之間轉移規則，每個人輪流移動，最終得出勝負。

設p為必敗點，n為必勝點

精髓：能到達必敗點的所有點都為必勝點，一般解題都是先找到乙個必敗點，然後由此點推必勝點

若題目中只討論一堆物品然後讓判斷先手必勝還是必敗，一般就用乙個陣列sg[n]打表，其中n是該物品的數量，通過遞推求出所有範圍內的sg的值，為0時必敗，為1時必勝

1.對一類題目，兩人輪流抓牌類，每次抓取方式有多種（斐波那契數、冪函式等可用陣列訪問）

定義mex運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數，運用sg打表

例如：mex=3 mex=0 mex{}=0

對於任意狀態的x，定義sg(x)=mex(s) ，其中s是x後繼狀態的sg函式值的集合，一般情況下我們會開乙個s陣列，其中它的下標表示在當前for迴圈i下，取過一次之後後繼狀態的sg函式值。可以通過將這些後繼狀態得到的sg函式值全部標記，然後後續遍歷s陣列，找出最小的未被標記的值就作為找到的mex(s).

什麼是x的後繼狀態？例如取石子，每次有多種取法，取完之後的狀態就是x的後繼狀態，因此有多個後繼狀態

例題1：作為計算機學院的學生，kiki和cici打牌的時候可沒忘記專業，她們打牌的規則是這樣的：

1、總共n張牌;

2、雙方輪流抓牌；

3、每人每次抓牌的個數只能是2的冪次（即：1，2，4，8，16…）

4、抓完牌，勝負結果也出來了：最後抓完牌的人為勝者；

假設kiki和cici都是足夠聰明（其實不用假設，哪有不聰明的學生~），並且每次都是kiki先抓牌，請問誰能贏呢？

輸入資料報含多個測試用例，每個測試用例佔一行，包含乙個整數n（1<=n<=1000）。

如果kiki能贏的話，請輸出「kiki」，否則請輸出「cici」，每個例項的輸出佔一行。

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const
int n =
1005
;int m,n;
int sg[n]
,f[n]
,s[n]
;voidff(
)}void
getsg
(int n)
//打表
for(
int j=0;
;j++
)//然後遍歷s陣列，找到第乙個沒有被標記的值，就是不存在於mex的值，即為該輪迴圈sg[i]的值}}
}int
main()
}

2.一般題目均是先找到一必敗點，然後逐漸往前推，也是打表

**例題：**輸入乙個數字字串，兩人輪流執行兩個操作中的任意乙個操作，最後不能執行操作的人敗

(1) 將任意一位(個十百…)上面的數減小

(2) 將任意乙個0後面的數刪除(包括0)

由題意可知1是必敗點，則從1開始往後推打表，sg[x]，x指的就是該字串轉為的數字

#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const
int maxn=
1e6+7;
int sg[maxn]
;int
getlen
(int x)
return len;
}void
getsg
(int n)
k*=10
;}//必敗點的任意一位數字增加一點，都是必勝點 這兩個for迴圈從個位開始，然後增加至9為止，依次十位，百位..... 
k=1;while
(len<6)
}int
main()
char s[15]
;while(~
scanf
("%s"
,s))
return0;
}

3.有的通過遞迴，但還是先找必敗點

有多個容器，每個容器都有一定的容量和原有石子數，現在兩個人輪流在任意容器放石子，規定每次放的數量不能超過原有石子數的平方。問先手勝還是先手敗

#include
#include
#include
using namespace std;
intsg
(int n,
int m)
if(m>x)
return n-m;
else
if(m==x)
return0;
else
return
sg(x,m);}
intmain()
printf
("case %d:\n"
,k);
k++;if
(sum)
printf
("yes\n");
else
printf
("no\n");
}return0;
}

洛谷p1290 歐幾里得的遊戲

歐幾里德的兩個後代stan和ollie正在玩一種數字遊戲，這個遊戲是他們的祖先歐幾里德發明的。給定兩個正整數m和n，從stan開始，從其中較大的乙個數，減去較小的數的正整數倍，當然，得到的數不能小於0。然後是ollie，對剛才得到的數，和m，n中較小的那個數，再進行同樣的操作……直到乙個人得到了0，他就取得了勝利。下面是他們用(25，7)兩個數遊戲的過程：

start：25 7

stan：11 7

ollie：4 7

stan：4 3

ollie：1 3

stan：1 0

stan贏得了遊戲的勝利。

現在，假設他們完美地操作，誰會取得勝利呢？

題解：同樣先找必敗點，可知(3 1)局面是必勝點，那麼(4 3)局面是必敗點，那麼(4 7)局面是必勝點，(11 7)局面是必敗點，原因是對於兩個數，乙個數除以另乙個數為1，那麼每次操作都是固定的：(大的數-小的數) 因此對應局面也是相反的

對於兩個數，乙個數除以另乙個數大於1的，仔細觀察其後繼局面如(25 7)，其後記局面可以為 (18 7) (11 7) 也可以為(7 4)

可知(11 7)與(7,4)必定是兩個相反的局面，因此sg函式值必定有乙個為0 ，所以(25 7)這個局面的sg函式值必定大於0，即一定是必勝點，因此對於兩個數乙個數除以另乙個數大於1的，此局面就是必勝點

**如下：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
bool sg
(int n,
int m)
intmain()
return0;
}

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