HDU2176 Nim博弈 SG函式求解

m堆石子,兩人輪流取.只能在1堆中取.取完者勝.先取者負輸出no.先取者勝輸出yes,然後輸出怎樣取子.例如5堆 5,7,8,9,10先取者勝,先取者第1次取時可以從有8個的那一堆取走7個剩下1個,也可以從有9個的中那一堆取走9個剩下0個,也可以從有10個的中那一堆取走7個剩下3個.

input

輸入有多組.每組第1行是m,m<=200000. 後面m個非零正整數.m=0退出.

output

先取者負輸出no.先取者勝輸出yes,然後輸出先取者第1次取子的所有方法.如果從有a個石子的堆中取若干個後剩下b個後會勝就輸出a b.參看sample output.

sample input

45 45

33 6 9

55 7 8 9 10

sample output

yes9 5

yes8 1

9 010 3

nim遊戲：

有n堆石子，每堆石子的個數是有限的，合法的操作是：選擇一堆石子，拿走若干顆，不能不拿；最後拿走最後一顆石子者勝。

結論：必敗狀態：a1^a2^......^an=0（奇異局勢）

必勝狀態：a1^a2^.......^an=k (其中k不為零)

遇到奇異局勢的選手必敗

證明：n=1時，先手第一次可以全部取完，先手必勝；

1.對於某個局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an!=0，一定存在某個合法的移動，將ai改變成ai'後滿足a1^a2^...^ai'^...^an=0。

不妨設a1^a2^...^an=k，則一定存在某個ai，它的二進位制表示在k的最高位上是1（否則k的最高位那個1是怎麼得到的）。

這時ai^ka1^a2^...^ai'^...^an=a1^a2^...^an^k=0。

2.對於某個局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^a3...^an=0，先手遇到奇異局勢，先手必敗；

一定不存在某個合法的移動，將ai改變成ai'後,足a1^a2^...^ai'^...^an=0。

因為異或運算滿足消去率，由a1^a2^...^an=a1^a2^...^ai'^...^an可以得到ai=ai'。所以將ai改變成ai'不是乙個合法的移動

答案：假設從第 i 堆石子中取走(ai^k)個石子，(a1^a2^a3^...ai^....^an)^k=k^k=0，剩餘石子必然是奇異局勢，後手必敗；

若(ai^k) < ai，即從第i堆中取走的石子個數小於等於總個數，那麼就可以從這一堆石子中取

若(ai^k) > ai，即從第i堆中取走的石子個數大於總個數，那麼就不可以從這一堆石子中取

在這道題中如果當前是必勝的話，那麼就要下乙個移動的人必敗，所以就要改變乙個ai變成ai'使得原本的a1^...ai^...^an!=0變成a1^...ai'...^an=0，可以利用ai^k時間限制: 1 sec 記憶體限制: 128 mb

現在有n堆硬幣，第i堆硬幣有xi個硬幣。yoyo和灰灰輪流進行操作，每次操作只能選擇一堆硬幣，然後從這一堆硬幣中取任意多個硬幣（1~x，x為該堆最大數量），但不能不取。輪到的人如果沒有硬幣可取，則輸。yoyo先手，誰能獲勝？

首行輸入t，代表t組樣例

每組樣例第一行輸入n，代表n堆硬幣。n<=1000;

接下來n個數字（a1,a2,a3......an）代表每堆硬幣的硬幣數。an<=1000;

輸出誰贏。yoyo必勝輸出yoyo，否則輸出zhazhahui

2 32 3 4

42 3 4 5

yoyo

zhazhahui

分析：

對於一堆硬幣，假設有x個，則這堆硬幣取一次後，剩餘的個數可能是mex=，

sg表示最小的不屬於mex集合的最小非負整數，即sg（x）=x；

所以ans=x1^x2^x3.......xn;若ans=0，說明先手必敗，否則先手必勝

#includeusing namespace std;
int main()
if(ans==0)
printf("zhazhahui\n");
else
printf("yoyo\n");
} return 0;
}

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