博弈論 SG和NIM

感覺博弈論acm還蠻經常考，現在我只記得nim結論似乎不太行：

博弈論就是要靜下心一口氣先把概念看完才懂啊（所以建議找個時間一口其總結完）

參考了nim遊戲屬於「impartial combinatorial games」（以下簡稱icg）：

滿足以下條件的遊戲是icg（可能不太嚴謹）：

1、有兩名選手；

2、兩名選手交替對遊戲進行移動(move)，每次一步，選手可以在（一般而言）有限的合法移動集合中任選一種進行移動；

3、對於遊戲的任何一種可能的局面，合法的移動集合只取決於這個局面本身，不取決於輪到哪名選手操作、以前的任何操作、骰子的點數或者其它什麼因素；

4、如果輪到某名選手移動，且這個局面的合法的移動集合為空（也就是說此時無法進行移動），則這名選手負。根據這個定義，很多日常的遊戲並非icg。例如象棋就不滿足條件3，因為紅方只能移動紅子，黑方只能移動黑子，合法的移動集合取決於輪到哪名選手操作。

就像我們玩的回合制遊戲有木有

任何乙個icg遊戲都有不同的局面，而每乙個局面都可以看成乙個頂點，該局面到它的子局面由有向邊鏈結（模擬一下下棋)

可以抽象為：給定乙個有向無環圖和乙個起始頂點，兩名選手交替的將這頂點沿有向邊進行移動到它的子集，無法移動者判負。

現在定義：先手必勝局面（局面）和先手必敗局面（頂點）：

1.無法進行任何移動的局面（也就是terminal position 終局）是特殊的p-position(先手必敗）；2.可以移動到p-position的局面是n-position （先手必勝居局面）；3.所有移動都導致n-position的局面是p-position 。

然後為了方便表示現在就要引進乙個mex(minimal excludant)運算：表示mex=最小的不屬於這個集合的非負整數，

比如：mex=3、mex=0、mex{}=0。

現在再定義 sg函式：對於乙個給定的有向無環圖，關於圖的每個頂點的sprague-garundy（sg）函式如下：sg(x)=mex。

然後這個sg函式有個性質：所有的terminal position所對應的頂點（也就是沒有出邊的頂點|也是先手必敗局面），其sg值為0，因為它的後繼集合是空集(mex{}=0)

然後對於乙個sg(x)=0的頂點x，它的所有後繼y都滿足g(y)!=0。對於乙個sg(x)!=0的頂點，必定存在乙個後繼y滿足sg(y)=0。(即能到達先手必敗局面|當前局面就是先手必勝局面)

但是如果是多堆石子呢，因為任何乙個icg都可以抽象成乙個有向圖遊戲。所以「sg函式」和「遊戲的和」的概念就不是侷限於有向圖遊戲。所以說當我們面對由n個遊戲組合成的乙個遊戲時，只需對於每個遊戲找出求它的每個局面的sg值的方法，就可以把這些sg值全部看成nim的石子堆，然後依照找nim的必勝策略的方法來找這個遊戲的必勝策略了！

發現還是只用nim的結論

所以我們可以定義有向圖遊戲的和(sum of graph games)：設g1、g2、……、gn是n個有向圖遊戲，定義遊戲g是g1、g2、……、gn的和(sum)，遊戲g的移動規則是：任選乙個子遊戲gi並移動上面的棋子。sprague-grundy theorem就是：sg(g)=sg(g1)^sg(g2)^…^sg(gn)。也就是說，遊戲的和的sg函式值是它的所有子遊戲的sg函式值的異或。

注：每乙個子遊戲最終都只有乙個sg值如sg(n)而這個sg值要從sg(0)，開始逆推，所以不要誤以為是每個節點i的sg(i)值取xor

如果是可選步數為1~m的連續整數，直接取模即可，sg(x) = x % (m+1);

如果可選步數為任意步，sg(x) = x;

如果可選步數為一系列不連續的數，用模板計算（dp|dfs）。

例：有t堆石子，每次可以從第1堆石子裡取1顆、2顆或3顆，可以從第2堆石子裡取奇數顆，可以從第3堆及以後石子裡取任意顆……假設第一堆有n個石子，第二堆有m個，其餘的有a[1]~a[t-2]個石子，我們可以把它看作3個子遊戲，第1個子遊戲只有一堆石子，每次可以取1、2、3顆，可以得出sg1[n]值是n%4。第2個子遊戲也是只有一堆石子，每次可以取奇數顆，經過簡單的畫圖可以知道這個遊戲的sg2[m]值是x%2。第3個遊戲有t-2堆石子，就是乙個nim遊戲即sg3=sg[a[i]]^sg[a[2]]...。對於原遊戲的每個局面，把三個子遊戲的sg值異或一下就得到了整個遊戲的sg值，sg=sg1[n]^sg2[m]^sg3然後就可以根據這個ifsg ==0 ==>必敗，否則必勝。

下面貼一下可以取不連續的數的模板：

這題似乎交不了？？！！還是貼一下**吧

題目大意：若輸入n=0代表結束，否則輸入n(n<10)，s(<2^13)，n代表有n*2個人，s代表一共有s個石子 ,然後有n*2個數a1，a2....代表第i個人最多能拿的石子數，你擁有奇數的隊員（1，3，5...），每次按順序來取，不斷迴圈，最後誰的組員把石堆拿走最後乙個石子誰輸（sg[1]=0,sg[0]=1)，若這組資料你能能贏輸出1，否則輸出0。

因為只有一堆石子，直接判斷正負狀態就行了，用記憶化搜尋|dp都可以

#include#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
const
int n=20,m=(2
<<13)+1431
;int n,s,x,sg[n*2][m],a[2*n];//
這裡的sg實際上是表示輸贏0|1 
int dfs(int x,int
sum)
if(sum<=0
) 
if(sg[x][sum]!=-1
) 
return
sg[x][sum];
sg[x][sum]=0; //
預先假定現在是先手必輸局面記 
for(int i=1;i<=a[x];i++)
}return
sg[x][sum];
}int
main()
printf(
"%d\n
",dfs(0
,s));
}return0;
}

就是個nim模板

#include#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
const
int n=10006
;int n,ans=0
,sg[n],x,t,use[n];
void get_sg(int n)//
得到每乙個點的sg值 }}
}int
main()
if(ans>0) //
xor的結果不一定是1除非是上題那種直接判斷當前sg是p|n局面才是0|1
printf("
yes\n");
else
printf(
"no\n");
}return0;
}

如果上上題那種直接判斷當前sg是p|n局面最後發現結果並不對，意思是sg值和輸贏0|1各自的xor並不同也就是說直接判斷輸贏只能用於乙個遊戲中

n個遊戲就應該求出每乙個遊戲的sg值再xor判斷

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