恩，本文會簡要介紹一下nim取石子遊戲與sg函式，並附上一些有趣的例題。
首先，讓我們來看一看最簡單的取石子遊戲。
遊戲1規則：有x個石子，兩人輪流取，最多取y個，不能不取，沒得取的人輸，兩個人都按照最優策略進行遊戲，問先手必勝的充要條件。
答案：x mod (y+1) != 0
恩，剛才那個遊戲很簡單，下面讓我們來看乙個稍微難一點的。
遊戲2規則：有x個石子，兩人輪流取，最多取y個，最少取z個，且z<=y，沒得取的人輸，兩個人都按照最優策略進行遊戲，問先手必勝的充要條件。
恩，如果大家都沒想出來的話。那我就不公布答案了，我其實想借這個問題引入必勝態和必敗態的概念。
我們定義必勝態為先手一定能贏的局面，必敗態為先手一定不能贏的局面。然後，對於乙個局面，不是必勝態就是必敗態（因為沒有平局）。
那麼顯然，對於乙個局面a，設b為所以可以轉移到局面a的局面的集合。
那麼a為必勝態當且僅當存在b屬於b，滿足b是必敗態；
那麼a為必敗態當且僅當對於所有b屬於b，滿足b是必勝態。
這個東東的證明是很簡單地，如果存在b是必敗態，乙個聰明的人就會讓對方處於必敗態，然後自己取勝，如果所有b都是必勝態，那麼再怎麼聰明的人也只能讓對方處於必勝態，然後自己心甘情願的輸掉比賽。
有點無聊，那我們就來點資料吧：對於遊戲2，x=9,y=2,z=4，寫出0-9的先手必勝態表，必勝態用w表示，必敗態用l表示。
0123456789
lwwwwllwww
如果用熟悉的的動態規劃來做，那麼動規方程就是f[i]=or（f[i]=true表示i為必勝態）。
然後問題再變難一點。
遊戲3規則：有y個石子，兩人輪流取，可以取x個，x屬於數集x，沒得取的人輸，兩個人都按照最優策略進行遊戲，問哪些是必勝態。
恩，這個問題留給大家思考。
遊戲4規則：有n堆石子，每堆有xi個石子，兩人輪流取，可以在一堆中取任意的石子，但不能不取，也不能跨堆取，沒得取的人輸，兩個人都按照最優策略進行遊戲，問哪些是必勝態。
比如有這樣3堆：7 11 13。大家可以先討論一下。
下面我們引入用異或解nim取石子問題。讓我們來證明一些東西：
對於a1,a2,...,an，設sg=a1 xor a2 xor ... xor an。
引理1若sg!=0，那麼必然存在0<=k
引理2若sg=0，那麼不存在0<=k
下面，我們把異或和nim聯絡到一起。
對於乙個局面(a1,a2,...,an)，設sg=a1 xor a2 xor ... xor an。
則它為必敗態當且僅當sg=0。
首先，我們知道(0,0,...,0)是必敗態，這時sg=0，所以命題在這總情況下成立。
然後對於乙個局面(a1,a2,...,an)，若a1 xor a2 xor ... xor an != 0，由引理1可知，存在0<=k
例題1（poj1704[georgia and bob]）
題目描述：
兩個人玩遊戲，在標有1,2,3,4,5...的格仔上有一些棋子，規則是選一枚棋子移動，要求不能跨越棋子移動，必需向左移動（可以移動任意格），不能移動的就輸掉比賽。
下面是乙個棋局的例子：
+--+--+--+--+--+--+--+--+--+
|1x|2 |3x|4 |5 |6x|7x|8 |9 |（旁邊標有x的表示在這裡有棋子）
+--+--+--+--+--+--+--+--+--+
給出棋子的初始位置，若先手勝，輸出"georgia will win"，否則輸出"bob will win"（不含引號）。
輸入格式：
多組資料。
對於每組資料，第一行是有乙個t，表示有t組資料。
對於每組資料，第一行有乙個n，表示有n枚棋子。
接下來的一行有n個數，分別為每個棋子的位置。
輸出格式：
對每組資料，輸出一行，如題目描述那樣。
樣例輸入：23
1 2 3
81 5 6 7 9 12 14 17
樣例輸出：
bob will win
georgia will win
資料範圍：
不管了，大家想演算法就行了，不管時空複雜度。
題解：我們從右到左，將每2個棋子看成一對來處理。
如果對方移動某對棋子中的左邊棋子x步，那麼我方就移動右邊棋子x步。
如果對方一定某對棋子中的右邊棋子，那麼就可以看作nim遊戲了。
剛剛我們研究了一下最最樸素的nim遊戲，下面我們要更深入的理解sg函式。首先sg函式的定義sg(x)=mex()，其中mex(x)=min。
先解釋一下mex函式，mex函式的引數是乙個由一些自然數組成的數集，返回最小的沒有出現在這個數集中的自然數，特別的，如果mex作用在空集上，返回的是0。
再解釋一下sg函式，sg函式的引數是乙個局面，返回乙個自然數，就是這個局面的sg值。
首先，對於乙個局面x，
如果sg(x)!=0，x可以轉移到sg值為0到sg(x)-1的局面，模擬nim遊戲，就是當前有sg(x)顆石子，可以取它，剩下0到sg(x)-1顆石子，與此同時x可能轉移到某些sg值大於sg(x)的局面y，但是此時對手總可以再將局面y轉移回sg值為sg(x)的局面，直至當前選手必選將局面轉移到sg值為0到sg(x)-1的局面；
如果sg(x)=0，那麼要不是x不能轉變到任何狀態（必敗態），就是x只能轉到sg值非0的狀態，模擬nim遊戲，就是取到0顆後就不能再取了，因為如果能夠轉到y，那麼sg(y)!=0，對方又可以讓y轉到sg值為0的狀態，直至沒有前驅。
乙個局面x，設y=sg(x)，那麼它就相當於有y顆石子的堆。
對於局面(x1,x2,...,xn)，它有子局面x1,x2,...,xn，那麼就相當於有n堆石子，分別有sg(x1),sg(x2),...,sg(xn)顆石子。
所以局面(x1,x2,...,xn)為必敗態當且僅當sg(x1) xor sg(x2) xor ... xor sg(xn)=0。
並且對於局面(x1,x2,...,xn)不給證明的給出下面的結論，sg((x1,x2,...,xn))=sg(x1) xor sg(x2) xor ... xor sg(xn)。
證明：
對於a1,a2,...,an，設sg=a1 xor a2 xor ... xor an。
引理3對任意0<=sg'
例題2（poj2960[s-nim]）
題目描述：
兩個人玩遊戲，規則是有n堆石子，分別有a1,a2,...,an顆石頭，每次從一堆石子中取一些石子，但是可取的石子數是規定了的，必須是中的乙個，誰無法操作就輸。
輸入格式：
多組資料。
對於每組資料，第一行是有乙個k，接下來有k個數，分別為s1,s2,...,sk。
第二行有乙個數m，表示會給出m個局面。
接下來的m行，先是乙個n，然後有n個數，分別為a1,a2,...,an。
若k=0，表示資料結束。
輸出格式：
對每組資料，輸出一行m個字元組成的字串，分別表示該組資料中的n個局面是必勝態還是必敗態，必勝態用w表示，必敗態用l表示。
樣例輸入：
2 2 5
32 5 12
3 2 4 7
4 2 3 7 12
5 1 2 3 4 5
32 5 12
3 2 4 7
4 2 3 7 12
0樣例輸出：
lwwwwl
資料範圍：
不管了，大家想演算法就行了，不管時空複雜度。
題解：sg(x)=mex=mex。
例題4（poj2425[a chess game]）題目描述：
兩個人玩遊戲，規則是給定乙個有向無環圖，在一些節點上放了棋子，兩人輪流移動棋子，每次只能選一顆棋子沿邊走一步（乙個地方可以放任意多的棋子），最後如果不能走了就輸。
輸入格式：
多組資料。
每組資料的第一行是n，表示圖有n各節點，依次標號為0,1,...,n-1。
接下來的n行，分別表述0,1,..,n-1的出邊。
這n行，第乙個數x表示出度，接下來的x個數分別為該節點的後繼。
接下來有一些詢問。
每個詢問以乙個數m開頭，若m=0則表示詢問結束，否則有m個數，分別為m個棋子所在的節點編號。
輸出格式：
對每個詢問，如果是先手必勝輸出"win"，否者輸出"lose"（不含引號）。
樣例輸入：
42 1 2
01 3
01 0
2 0 204
1 11 200
2 0 1
2 1 1
3 0 1 3
0樣例輸出：
winwin
winlose
win資料範圍：
不管了，大家想演算法就行了，不管時空複雜度。
題解：對於乙個棋子sg(x)=max。對於m個棋子，sg((x1,x2,...,xm))=sg(x1) xor sg(x2) xor ... xor sg(xm)。
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