Nim 遊戲 SG 函式遊戲的和

nim遊戲是組合遊戲(combinatorial games)的一種，準確來說，屬於「impartial combinatorial games」（以下簡稱icg）。滿足以下條件的遊戲是icg（可能不太嚴謹）：1、有兩名選手；2、兩名選手交替對遊戲進行移動(move)，每次一步，選手可以在（一般而言）有限的合法移動集合中任選一種進行移動；3、對於遊戲的任何一種可能的局面，合法的移動集合只取決於這個局面本身，不取決於輪到哪名選手操作、以前的任何操作、骰子的點數或者其它什麼因素； 4、如果輪到某名選手移動，且這個局面的合法的移動集合為空（也就是說此時無法進行移動），則這名選手負。根據這個定義，很多日常的遊戲並非icg。例如象棋就不滿足條件3，因為紅方只能移動紅子，黑方只能移動黑子，合法的移動集合取決於輪到哪名選手操作。

通常的nim遊戲的定義是這樣的：有若干堆石子，每堆石子的數量都是有限的，合法的移動是「選擇一堆石子並拿走若干顆（不能不拿）」，如果輪到某個人時所有的石子堆都已經被拿空了，則判負（因為他此刻沒有任何合法的移動）。

定義p-position和n-position，其中p代表previous，n代表next。直觀的說，上一次move的人有必勝策略的局面是p-position，也就是「後手可保證必勝」或者「先手必敗」，現在輪到move的人有必勝策略的局面是n-position，也就是「先手可保證必勝」。更嚴謹的定義是：1.無法進行任何移動的局面（也就是terminal position）是p-position；2.可以移動到p-position的局面是n-position；3.所有移動都導致n-position的局面是p-position。

所以對於當前的局面，遞迴計算它的所有子局面的性質，如果存在某個子局面是p-position，那麼向這個子局面的移動就是必勝策略。

對於某個nim遊戲的局面(a1,a2,…,an)來說，要想判斷它的性質以及找出必勝策略，需要計算o(a1*a2*…*an)個局面的性質。

對於乙個nim遊戲的局面(a1,a2,…,an)，它是p-position當且僅當a1^a2^…^an=0，其中^表示異或(xor)運算。

根據定義，證明一種判斷position的性質的方法的正確性，只需證明三個命題:

1、這個判斷將所有terminal position判為p-position；

2、根據這個判斷被判為n-position的局面一定可以移動到某個p-position；

3、根據這個判斷被判為p-position的局面無法移動到某個p-position。

第乙個命題顯然，terminal position只有乙個，就是全0，異或仍然是0。

第二個命題，對於某個局面(a1,a2,…,an)，若a1^a2^…^an!=0，一定存在某個合法的移動，將ai改變成ai』後滿足a1^a2^…^ai』^…^an=0。不妨設a1^a2^…^an=k，則一定存在某個ai，它的二進位制表示在k的最高位上是1（否則k的最高位那個1是怎麼得到的）。這時ai^k< ai一定成立。則我們可以將ai改變成ai』=ai^k，此時a1^a2^…^ai』^…^an=a1^a2^…^an^k=0。

第三個命題，對於某個局面(a1,a2,…,an)，若a1^a2^…^an=0，一定不存在某個合法的移動，將ai改變成ai』後滿足a1^a2^…^ai』^…^an=0。因為異或運算滿足消去率，由a1^a2^…^an=a1^a2^…^ai』^…^an可以得到ai=ai』。所以將ai改變成ai』不是乙個合法的移動。證畢。

根據這個定理，我們可以在o(n)的時間內判斷乙個nim的局面的性質，且如果它是n-position，也可以在o(n)的時間內找到所有的必勝策略。nim問題就這樣基本上完美的解決了。

給定乙個有向無環圖和乙個起始頂點上的一枚棋子，兩名選手交替的將這枚棋子沿有向邊進行移動，無法移動者判負。事實上，這個遊戲可以認為是所有impartial combinatorial games的抽象模型。也就是說，任何乙個icg都可以通過把每個局面看成乙個頂點，對每個局面和它的子局面連一條有向邊來抽象成這個「有向圖遊戲」。下面我們就在有向無環圖的頂點上定義sprague-garundy函式。

首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於乙個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex=3、mex=0、mex{}=0。對於乙個給定的有向無環圖，定義關於圖的每個頂點的sprague-garundy函式g如下：g(x)=mex。

來看一下sg函式的性質。首先，所有的terminal position所對應的頂點，也就是沒有出邊的頂點，其sg值為0，因為它的後繼集合是空集。然後對於乙個g(x)=0的頂點x，它的所有後繼y都滿足g(y)!=0。對於乙個g(x)!=0的頂點，必定存在乙個後繼y滿足g(y)=0。

以上這三句話表明，頂點x所代表的postion是p-position當且僅當g(x)=0（跟p-positioin/n-position的定義的那三句話是完全對應的）。我們通過計算有向無環圖的每個頂點的sg值，就可以對每種局面找到必勝策略了。但sg函式的用途遠沒有這樣簡單。如果將有向圖遊戲變複雜一點，比如說，有向圖上並不是只有一枚棋子，而是有n枚棋子，每次可以任選一顆進行移動，這時，怎樣找到必勝策略呢？

讓我們再來考慮一下頂點的sg值的意義。當g(x)=k時，表明對於任意乙個0<=i< k，都存在x的乙個後繼y滿足g(y)=i。也就是說，當某枚棋子的sg值是k時，我們可以把它變成0、變成1、…、變成k-1，但絕對不能保持k不變。不知道你能不能根據這個聯想到nim遊戲，nim遊戲的規則就是：每次選擇一堆數量為k的石子，可以把它變成0、變成1、„„、變成k-1，但絕對不能保持k不變。這表明，如果將n枚棋子所在的頂點的sg值看作n堆相應數量的石子，那麼這個nim遊戲的每個必勝策略都對應於原來這n枚棋子的必勝策略！

剛才，我們為了使問題看上去更容易一些，認為n枚棋子是在乙個有向圖上移動。但如果不是在乙個有向圖上，而是每個棋子在乙個有向圖上，每次可以任選乙個棋子（也就是任選乙個有向圖）進行移動，這樣也不會給結論帶來任何變化。

所以我們可以定義有向圖遊戲的和(sum of graph games)：設g1、g2、…、gn是n個有向圖遊戲，定義遊戲g是g1、g2、……、gn的和(sum)，遊戲g的移動規則是：任選乙個子遊戲gi並移動上面的棋子。

sprague-grundy theorem就是：g(g)=g(g1)^g(g2)^…^g(gn)。也就是說，遊戲的和的sg函式值是它的所有子遊戲的sg函式值的異或。

再考慮在本文一開頭的一句話：任何乙個icg都可以抽象成乙個有向圖遊戲。所以「sg函式」和「遊戲的和」的概念就不是侷限於有向圖遊戲。我們給每個icg的每個position定義sg值，也可以定義n個icg的和。所以說當我們面對由n個遊戲組合成的乙個遊戲時，只需對於每個遊戲找出求它的每個局面的sg值的方法，就可以把這些sg值全部看成nim的石子堆，然後依照找nim的必勝策略的方法來找這個遊戲的必勝策略了！

1
intsg[n]; 
2bool
vis[n]; 
3void sg_solve(int *s,int t,int n) //
n求解範圍 s陣列是可以每次取的值，t是s的長度。 4 
18 }

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